Acwing 342：道路与航线 （含有无环负权边的最短路问题 dijkstra+topsort）题解

题目大意

原题链接：Acwing 342：道路与航线

各城市之间有道路也有航线，道路是双向的且权值为正，航线是单向的且权值有负，保证航线连接的两个城市ab，只能从a到b，而不能以任何途径从b到a，路的权值是花费。
给定一个起点，求从起点到其余所有城市的最小花费。

思路

根据题意，所有道路相连的城市都是一个连通的无向图，将这样的城市群看作一个团，整张图会有很多个团，每个团之间有单向的边，权值可能是负数，如下图，黑边是道路，红边是航线：

既有正边又有负边的单源最短路问题应该怎么做？dij不能处理负权边，因此肯定首先会想到spfa，但spfa已死 ，很容易被一个菊花图卡掉，这道题就被卡掉了。所以我们就要看这个图的性质。每个团内部可以用堆优化的dijstra来求最短路，而每个团之间一定无环（题意，没有任何途径从航线终点到航线起点），那么将每个团做一个拓扑排序，然后线性的扫描一遍，就可以处理团之间的边了。我们用id数组存每个点所属的团的编号，block的vector数组来存每个团内有哪些点。
然后按照拓扑序对每个团内的点做一遍堆优化的dij，边拓扑排序边做dij：当团内dij时若访问到团外的点，就将点所在的团的入度减一（topsort），然后正常更新dis数组即可。（具体步骤可以看代码详解）

这样子就灵活的处理掉了dij不能处理负权边的问题，因为所有团是按拓扑序排的，所以线性的扫一遍求最短路是没问题的。而每个团做dij时，将当前点走到的点记为v，若v是团内的点就正常更新dis，判断入堆即可；若v是团外的点，则该边可能是负数，我们就直接更新dis[v]即可，然后将v所在团的入度减一，若入度为0，将v所在的团加入拓扑序列。然后我们判断若dis[i] > INF/2，就说明没有路到i点，因为若i的团在起点的团的拓扑序的前面，且i之前有团用负边更新到了i点，因此i点的距离可能比INF小一点，所以只需用一个较大的数来判断，我们取INF/2来判断，若大于他，都说明没有路，输出NO PATH，其余输出dis[i]即可。

代码详解

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 25010,M = 150010,INF = 0x3f3f3f3f;

int n,r,p,s;
int e[M],ne[M],w[M],h[N],idx;	//链式前向星建图
int id[N],dis[N],d[N],bcnt;		//id是每个点所属的连通块编号，dis是到各点的距离，d是入度，bcnt是连通块编号
bool vis[N];	//dij所需的bool数组
vector<int> block[N];	//block[i]存编号为i的连通块中的所有点
queue<int> q;	//topsort的队列

void add(int a,int b,int c)		//链式前向星建边
{
	e[idx] = b;
	w[idx] = c;
	ne[idx] = h[a];
	h[a] = idx++;
}

void dfs(int u,int bid)		//dfs划分连通块
{
	id[u] = bid;		//u点的连通块编号是bid
	block[bid].push_back(u);	//bid号连通块内加入u点

	for(int i = h[u];~i;i = ne[i])	//循环下一个点
	{
		int v = e[i];
		if(!id[v])	//如果能走到该点且没被访问过
			dfs(v,bid);	//就搜他
	}
}

void dijkstra(int bid)
{	
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > heap;	//建堆优化
	for(auto u : block[bid])		//将该连通块中的所有点加入堆中（这里要将所有点都加入，因为dij算法的原理）
		heap.push({dis[u],u});
	while(heap.size())	//dij算法模板
	{
		int u = heap.top().y;
		heap.pop();
		if(vis[u])
			continue;
		vis[u] = 1;
		for(int i = h[u];~i;i = ne[i])
		{
			int v = e[i];
			if(id[v] != id[u])		//如果搜到的下一个点不是该连通块内的，那么就给下一个连通块的入度-1
			{
				d[id[v]]--;
				if(d[id[v]] == 0)	//如果入度为0加入队列
					q.push(id[v]);
			}
			if(dis[v] > dis[u] + w[i])
			{
				dis[v] = dis[u] + w[i];
				if(id[v] == id[u])	//如果更新了且搜到的点和当前点是同一个连通块，就加入堆中
					heap.push({dis[v],v});
			}
		}
	}
}

void topsort()
{
	memset(dis,INF,sizeof dis);		//先初始化dis数组
	dis[s] = 0;
	for(int i = 1;i <= bcnt;i++)
		if(d[i] == 0)		//所有连通块中入度为0的加入队列
			q.push(i);
	while(q.size())	
	{
		int cur = q.front();
		q.pop();
		dijkstra(cur);		//每次取队列第一个连通块跑dij
	}
}

int main()
{
	cin >> n >> r >> p >> s;	//n是总点数，r是道路数，p是航线数，s是起点
	memset(h,-1,sizeof h);
	while(r--)
	{
		int a,b,c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(a,b,c);		//道路建双向边
		add(b,a,c);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)	//dfs给每个连通块标号，id是每个点所在的连通块的编号
		if(!id[i])		//如果一个点没访问过，就dfs他
			dfs(i,++bcnt);
	while(p--)
	{
		int a,b,c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(a,b,c);		//航线建单向边
		d[id[b]]++;		//b点所在的连通块的入度++
	}
	topsort();		//对每个连通块拓扑排序
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if(dis[i] > INF/2)	//如果dis[i] > INF/2就算无路
			cout << "NO PATH" << endl;
		else
			cout << dis[i] << endl;
	}

	return 0;
}