使用备忘录方法求解最优二叉搜索树问题

问题描述

给定递增有序的元素序列$S=⟨a_1,a_2,\cdots ,a_n⟩$与相关存取概率分布$C=⟨q(0),p(1),q(1),p(2),q(2),\cdots ,p(n),q(n)⟩$，将这些元素存储在一棵二叉树的结点上，以查找$x$是否在这些数中。如果$x$不在，确定$x$在哪个空隙。设法构造一棵最优二叉搜索树使得平均查找次数$t$最小。一棵二叉搜索树的平均查找次数定义如下：
$$t=\sum _{i=1}^{n}p(i)(1+d(i))+\sum _{j=0}^{n}q(j)d(j)$$
其中，$d(i)$表示结点$a_i$的深度，$i=1,2,\cdots ,n$；$d(j)$表示空隙(叶子)结点$(a_j,a_{j+1})$的深度，$j=0,1,\cdots ,n$。

问题建模

1.子问题的边界参数化

$S[i,j]=<x_i,x_{i+1}...x_j>$是$S$ 以$i$和$j$作为边界的子数据集，$C[i，j]=<a_{i-1},b_i,a_i,...,b_j,a_j>$是对应$S[i,j]$存取概率分布。
子问题划分：以$x_k$作为根划分成两个子问题
$$S[i,k-1],C[i，k-1]$$
$$S[k+1,j],C[k+1，j]$$

2.递推关系

设m[i,j]是相对于输入S[i,j]和C[i，j]的最优二叉搜索树的平均比较次数，令$$w[i,j]=\sum _{p=i-1}^j{a}_p+\sum _{q=i}^j{b}_q$$是C[i，j]中所有概率（包括数据元素与空隙）之和，则递推方程为
{ m [ i , j ] = min ⁡ { m [ i , k − 1 ] + m [ k + 1 , j ] + w [ i , j ] } if  1 ≤ i ≤ j ≤ n m [ i , i − 1 ] = 0 if  i = 1 , 2 , . . . n \begin{cases} m[i,j]=\min \{m[i,k-1]+m[k+1,j]+w[i,j]\} &\text{if } 1\leq i\leq j \leq n \\ m[i,i-1]=0 &\text{if } i=1,2,...n \end{cases} {m[i,j]=min{m[i,k−1]+m[k+1,j]+w[i,j]}m[i,i−1]=0​if 1≤i≤j≤nif i=1,2,...n​

3.备忘录表与标记函数表

w:最优二叉搜索树的权;

m:计算最优二叉搜索树的成本;

r:最优二叉搜索树的根。

算法的复杂度分析

$i,j$的所有组合$O(n^2)$种，每种要对不同的k进行计算，$k=O(n)$每次计算为常数时间$$T(n)=O(n^3),S(n)=O(n^2)$$

算法的迭代实现伪代码描述

 function BST(p, q, n)
 	let m[1...n+1,0...n],w[1...n+1,0...n] and r[1...n,1...n] be new tables
 	for i = 1 → n + 1 do
		m[i, i − 1] ← 0
 		w[i, i − 1] ← qi−1
 	for l = 1 → n do
 		for i = 1 → n − l + 1 do
 			j ← i + l − 1
			m[i, j] ← ∞
 			w[i, j] ← w[i, j − 1] + pj + qj
 			for r = i → j do
 				t ← m[i, r − 1] + m[r + 1, j] + w[i, j]
 				if t < m[i, j] then
 					m[i, j] ← t
 					r[i, j] ← r
 	return m, r
 end function

迭代实现的源代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	cin >> n;
	vector<int> S,C;
	vector<vector<int> > w,m,r;//定义备忘录表 
	vector<int> B;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		int a;
		cin >> a;
		S.push_back(a);
	}//输入集合S 
	for(int i = 0;i < 2*n+1;i ++){
		double a;
		cin >> a;
		C.push_back(100*a);
    }//输入存取概率，乘以100 
	for(int j = 0;j <= n+1;j++){
		B.push_back(0);
	}
	for(int i = 0;i <= n+1;i++){	
		m.push_back(B);
		w.push_back(B);
		r.push_back(B);
	}
	for(int i = 1;i <= n+1;i ++){
		m[i][i-1] = 0;
		w[i][i-1] = C[2*(i-1)];
	}//初始化备忘录表
	for(int l = 1;l <= n;l ++){
		for(int i = 1;i <= n-l+1;i ++){
			int j = i+l-1;
			m[i][j] = 2147483647;
			w[i][j] = w[i][j-1] + C[2*j-1] + C[2*j];
			for(int root = i;root <= j;root ++){
				int t = m[i][root-1] + m[root+1][j] + w[i][j];
				if(t < m[i][j]){
					m[i][j] = t;
					r[i][j] = root;
				}
			}
		}
	}//利用备忘录法迭代实现构造最优二叉搜索树 
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		for(int j = 1;j <= n;j ++){
			cout << r[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}//输出记录根节点的表 
	cout << "最小代价为" << (double)m[1][n]/100; 
	return 0;//输出最小期望代价 
}

运行结果截图

结束语

没有明确表达的爱意都是错觉

作者：花城