关键路径

关键路径

利用AOV网络，对其进行拓扑排序能对工程中活动的先后顺序作出安排。但一个活动的完成总需要一定的时间，为了能估算出某个活动的开始时间，找出那些影响工程完成时间的最主要的活动，我们可以利用带权的有向网，图中的边表示活动，边上的权表示完成该活动所需要的时间，一条边的两个顶点分别表示活动的开始事件和结束事件，这种用边表示活动的网络，称为“AOE网”。
　　其中，有两个特殊的顶点（事件），分别称为源点和汇点，源点表示整个工程的开始，通常令第一个事件（事件1）作为源点，它只有出边没有入边；汇点表示整个工程的结束，通常令最后一个事件（事件n）作为汇点，它只有入边没有出边；其余事件的编号为2到n-1。
在实际应用中，AOE网应该是没有回路的，并且存在唯一的入度为0的源点和唯一的出度为0的汇点。
　　下图表示一个具有12个活动的AOE网。图中有8个顶点，分别表示事件0到7，其中，0表示开始事件，7表示结束事件，边上的权表示完成该活动所需要的时间。

下面先讨论一个事件的最早发生时间和一个活动的最早开始时间。如下图，事件Vj必须在它的所有入边活动eik（1≤k≤n）都完成后才能发生。活动eik（1≤k≤n）的最早开始时间是与它对应的起点事件Vik的最早发生时间。所有以事件Vj为起点事件的出边活动ejk（1≤k≤m）的最早开始时间都等于事件Vj的最早发生时间。所以，我们可以从源点出发按照上述方法，求出所有事件的最早发生时间。

设数组earliest[1…n]表示所有事件的最早发生时间，则我们可以按照拓扑顺序依次计算出earliest[k]：
　　　earliest[1]=0
　　　earliest[k]=max{earliest[j]+dut[j][k]}
　　　　　　　　(其中，事件j是事件k的直接前驱事件，dut[j][k]表示边<j，k>上的权)
　　对于上图，用上述方法求earliest[0…7]的过程如下：
earliest[0]=0
earliest[1]=earliest[0]+dut[0][1]=0+6=6
earliest[2]=earliest[0]+dut[0][2]=0+7=7
earliest[4]=max{earliest[1]+dut[1][4]，earliest[2]+dut[2][4]}
　　　　=max{6+5,7+4}
　　　　=11
earliest[3]=max{earliest[1]+dut[1][3]，earliest[4]+dut[4][3]}
　　　　=max{6+3,11+3}
　　　　=14
earliest[5]=max{earliest[3]+dut[3][5]，earliest[4]+dut[4][5]}
　　　　=max{14+2,11+4}
　　　　=16
earliest[6]=earliest[4]+dut[4][6]=11+3=14
earliest[7]=max{earliest[3]+dut[3][7]，earliest[5]+dut[5][7], earliest[6]+dut[6][7]}
　　　　=max{14+5,16+2,14+4}
　　　　=19
最后得到的earliest[7]就是汇点的最早发生时间，从而可知整个工程至少需要19天完成。
　　但是，在不影响整个工程按时完成的前提下，一些事件可以不在最早发生时间发生，而向后推迟一段时间，我们把事件最晚必须发生的时间称为该事件的最迟发生时间。同样，有些活动也可以推迟一段时间完成而不影响整个工程的完成，我们把活动最晚必须开始的时间称为该活动的最迟开始时间。一个事件在最迟发生时间内仍没发生，或一个活动在最迟开始时间内仍没开始，则必然会影响整个工程的按时完成。事件Vj的最迟发生时间应该为：它的所有直接后继事件Vjk（1≤k≤m）的最迟发生时间减去相应边<Vj，Vjk>上的权（活动ejk需要时间），取其中的最小值。且汇点的最迟发生时间就是它的最早发生时间，再按照逆拓扑顺序依次计算出所有事件的最迟发生时间，设用数组lastest[1…n]表示，即：
　　　lastest[n]=earliest[n]
　　　lastest[j]=min{lastest[k]-dut[j][k]}
　　　　　　　　　(其中，事件k是事件j的直接后继事件，dut[j,k]表示边<j，k>上的权)
　　对于上图，用上述方法求lastest [0…7]的过程如下：
lastest[7]=earliest[7]=19
lastest[6]=lastest[7]-dut[6][7]=19-4=15
lastest[5]=lastest[7]-dut[5][7]=19-2=17
lastest[3]=min{lastest[5]-dut[3][5]，lastest[7]-dut[3][7]}
=min{17-2,19-5}
=14
lastest[4]=min{lastest[3]-dut[4][3]，lastest[5]-dut[4][5], lastest[6]-dut[4][6]}
=min{14-3,17-4,15-3}
=11
lastest[2]=lastest[4]-dut[2][4]=11-4=7
lastest[1]=min{lastest[3]-dut[1][3]，lastest[4]-dut[1][4]}
=min{14-3,11-5}
=6
lastest[0]=min{lastest[1]-dut[0][1]，lastest[2]-dut[0][2]}
=min{6-6,7-7}
=0
计算好每个事件的最早和最迟发生时间后，我们可以很容易地算出每个活动的最早和最迟开始时间，假设分别用actearliest和actlastest数组表示，设活动i的两端事件分别为事件j和事件k,如下所示：
活动i
事件j ————————> 事件k
　　则：actearliest[i]=earliest[j]
　　　　actlastest[i]=lastest[k]-dut[j][k]
余量（称为开始时间余量）是该活动的最迟开始时间减去最早开始时间，余量不等于0的活动表示该活动不一定要在最早开始时间时就进行，可以拖延一定的余量时间再进行，也不会影响整个工程的完成。而余量等于0的活动必须在最早开始时间时进行，而且在规定的工期内完成，否则将影响整个工程的完成。
　　我们把开始时间余量为0的活动称为“关键活动”，由关键活动所形成的从源点到汇点的每一条路径称为“关键路径”。