HDU 6822 Paperfolding（数学推导）_paperfolding hdu

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博客探讨了HDU 6822 Paperfolding问题，涉及对一张纸进行水平和竖直对折以及切割的操作。通过数学推导，得出经过n次操作后，纸张被切割成s张的期望值E(s)的公式，具体为E(s)=1+2n+2∗3n/2n，并提供了相关代码实现。

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原题链接：Paperfolding

题面：

在这里插入图片描述

题目大意：

给你一张纸，可以进行四种操作，向上向下向左向右对折，实际上向上向下为一种，即竖直对折；向左向右一种，即水平对折。对折完后可以进行横竖一刀切的操作，将纸张分成 $s$ 张。
现在给定一个 $n$ ，问经过 $n$ 次四种操作后，期望 $E (s)$ ，即最终切割后得到的纸张数 $s$ 的期望是多少。

数学推导：

用纸张模拟 ~~（我脑子不太好使，撕了几张纸）~~。
可以发现，水平和竖直的对折，对于结果的影响都是独立的，即水平对折只影响水平的切痕，竖直的对折只影响竖直的切痕。
如果进行了 $x$ 次水平对折和 $y$ 次竖直对折。
此时相当于对于一张纸张进行了 $2^x$ 次水平切割， $2^y$ 次竖直切割。
最终获得的纸张数量是： $2^x+1)*(2^y+1)$ 。

所以最终的期望为： $E(s)=\frac{1}{2^n}*\begin{matrix} \sum_{i=0}^n C(n,\ i)(2^i+1)(2^{n-i}+1)\end{matrix}=1+2^n+2*3^n/2^n$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define sc scanf
#define pf printf
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 2e5 + 10, M = 2e4 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;
const int mod = 998244353;

LL n;

LL qmi(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    for( ; b; b >>= 1){
        if(b & 1)   ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int t; sc("%d", &t);
    while(t--) {
        sc("%lld", &n);
        LL ans = 1 + qmi(2, n) + 2 * qmi(3, n) * qmi(qmi(2, n), mod - 2) % mod;
        pf("%lld\n", ans % mod);
    }
    return 0;
}