数据结构-第六章 图

图的基本概念

图的定义

1. 图G由顶点集V和边集E构成。
2. |V|：顶点个数，也称图的阶
3. 线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，(V一定是非空集,E可以为空)

1. 有向图

1. 有向边(弧)：顶点的有序对。
2. <v,w> 弧尾：v；弧头：w。
3. <v, w> ≠ <w, v>
4. <v,w> ：从v到w的弧 / v邻接到w

2. 无向图

1. 无向边(边)：无序对：(v,w)或(w,v)
2. (v, w) = (w, v)
3. (v,w)：w和v互为邻接点 / 边(w,v)依附于w和v / 边(v,w)和v,w相关联

3. 简单图、多重图

简单图：
① 不存在重复边；
② 不存在顶点到自身的边

多重图：
图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图

4. 度
   无向图：

无向图：

1. 顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)
2. 无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍

有向图：

有向图：

1. 入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；
2. 出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。
3. 顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v) = ID(v) + OD(v)。
   

5. 顶点-顶点关系描述

1. 路径：顶点v_p 到顶点v_q之间的一条路径是指顶点序列
2. 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
3. 简单路径:顶点不重复出现的路径称为简单路径
4. 路径长度：路径上边的数目
5. 无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的
6. 有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

6. 子图

子图：部分顶点和边

生成子图：包含所有顶点

7. 连通分量：
   无向图中的极大连通子图称为连通分量
   有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量
   

8. 生成树
   连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（边尽可能的少，但要保持连通）

|E|大于n-1，一定有回路

9. 生成森林
   在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
   

1. 边的权：在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值
2. 带权图/网:边上带有权值的图称为带权图，也称网
3. 带权路径长度：一条路径上所有边的权值之和

1. 无向完全图
   无向图中任意两个顶点之间都存在边
   ( 若无向图的顶点数|V|=n，则|E| ∈ [0,𝐶_n²]=[0,n(n–1)/2] )
   
2. 有向完全图
   有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧
   ( 若有向图的顶点数|V|=n，则|E| ∈ [0,2𝐶_n²]=[0,n(n–1)] )
   

4.

一、 图的存储及其操作

邻接矩阵法

邻接矩阵法：

1. 一维数组存储顶点的信息
2. 二维数组(邻接矩阵)存储图中边的信息

1. 第i个结点的出度=第i行的非零个数
2. 第i个结点的入度=第i列的非零元素个数
3. 第三个结点的度=第i行、第i列的非零元素个数

邻接矩阵法存带权图(网)

邻接矩阵法的性能分析

1. 空间复杂度：O(|V|²) 只和顶点数相关，和实际的边数无关，适用于存储稠密图
2. 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以压缩存储（只存储上三角区/下三角区）
3. A_n 的元素A_n[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目
4. 表示方式唯一。

邻接表法

顺序+链式存储
(类似树的孩子表示法)

//“边/弧”
typedef struct ArcNode{
	int adjvex;//边/弧指向哪个顶点
	struct ArcNode *next;//指向下一条弧的指针
	//InfoType. info; / /边权值
}
//“顶点”
typedef struct VNode{
	VertexType data;//顶点信息
	ArcNode *first;//第一条边/弧
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct {
	AdjList vertices;//邻接表
	int vernum,arcnum;//顶点数和弧数
}

存储无向图

1. 边结点数量：2|E|，整体空间复杂度：O( |V|+2|E| )
2. 度：结点5的度为：2(边链表存地即为结点5相邻的边)
   存储有向图
3. 边结点数量：|E|，整体空间复杂度：O( |V|+|E| )
4. 出度：结点5的出度为：2
   入度：遍历所有边链表

总结

十字链表法

只能存储有向图

十字链表法是有向图的一种链式存储结构

十字链表法压缩矩阵的存储

存有向图
图的十字链表法表示不唯一，但一个十字链表法只能表示确定一个图。

空间复杂度：O(|V|+|E|)

邻接多重表

只能存无向图
是无向图的另一种链式存储结构
空间复杂度：O(|E|+|V|)

总结

图的基本操作

1. Adjacent(G,x,y):
   判断图G是否存在边<x, y>或(x, y)
   

2. Neighbors(G,x):
   列出图G中与结点x邻接的边
   

3. InsertVertex(G,x)：
   在图G中插入顶点x
   

4. DeleteVertex(G,x)：
   从图G中删除顶点x
   

5. AddEdge(G,x,y):
   若无向边(x, y)或有向边<x, y>不存在，则向图G中添加该边
   

6. RemoveEdge(G,x,y)：
   若无向边(x, y)或有向边<x, y>存在，则从图G中删除该边
   

7. 
   

三、图的遍历

BFS广度优先遍历

队列

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];
void BFSTraverse(Graph G){
	for(int i=0;i<G.vertextnum;i++) 
		visited[i]=false;
	InitQueue(Q);
	for(i=0;i<G.verxnum;++i){
			if(!visited[i])//每个连通分量调用依次BFS
				BFS(G,i);
	}
}
void BFS(Graph G,int v){
	visit(v);
	visited[v] = true;
	Enqueue(Q,v);//入队列
	while(!isEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);//顶点v出队列
		for(w = FirstNeigbor(G,v);w>=0;w = NextNeigbor(G,v,w)){
			if(visited[w]){
				visit(w);//访问
				visited[w]=true;
				EnQueue(Q,w);
			}//if
		}//for
	}//while
}

类似树的层次遍历

1. 同⼀个图的邻接矩阵表示⽅式唯⼀，因此⼴度优先遍历序列唯⼀
2. 同⼀个图邻接表表示⽅式不唯⼀，因此⼴度优先遍历序列不唯⼀

BSF算法性能分析

1. 空间复杂度：最坏情况，辅助队列⼤⼩为 O(|V|) (一个顶点和所有点相邻)
2. 开销在于访问顶点和找邻边：
   邻接表存储方式：
   无向图：O(|V|+2|E|)
   邻接矩阵：
   

广度优先生成树

广度优先搜索过程中可以得到一颗遍历树，称广度优先搜索树

1. 由于邻接表的表示⽅式不唯⼀，因此基于邻接表的⼴度优先⽣成树也不唯⼀
2. 邻接矩阵存储表示唯一，其广度优先生成树也是唯一的
3. 对⾮连通图的⼴度优先遍历，可得到⼴度优先⽣成森林

DFS深度优先遍历

类似树的先根遍历

bool visited[MAX_VERTEX_NUM]
void DFSTravel(Graph G){
	int v;
	for(v=0;v<G.vernum;v++) visited[v] = false;
	
	for(v=0;v<G.vernum;v++){
		if(!visited[v]) DFS(G,v);
	}
}
void DFS(Graph G,int v){
	visit(v);
	visited[v] = true;
	
	for(int w = FirstNeibor(G,v);w>=0;w = NextNeighbor(G,v,w)){
		if(!visited[w]) DFS(G,w);
	}
}

对于同一个图：

1. 基于邻接矩阵的遍历得到的DFS序列和BFS序列是唯一的。
2. 基于邻接表的遍历得到的DFS序列和BFS序列是不唯一的。

复杂度分析

1. 空间复杂度
   
2. 时间复杂度 = 访问各结点所需时间+探索各条边所需时间

1. 邻接矩阵：
   
2. 邻接表
   

深度优先搜索树

对连通图调用DFS才会产生深度优先生成树
否则生成深度优先生成森林
基于邻接表存储的生成树不唯一

图的遍历和图的连通性

1. 对⽆向图进⾏BFS/DFS遍历调⽤BFS/DFS函数的次数=连通分量数
   
2. 对有向图进⾏BFS/DFS遍历调⽤BFS/DFS函数的次数要具体问题·具体分析`
   

最小生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图

最小生成树(最小代价树)

性质：

1. 最小生成树不唯一；
2. 最小生成树的边的权值之和总是唯一的
3. 最小生成树的边数为顶点数-1
   

Prim和Kruskal都基于贪心算法

Prim算法

寻找与当前生成树最近的结点

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Kruskal算法

每次选择一条权值最小的边

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

时间复杂度分析

1. Prim算法：O(|V|²)
   适用于边稠密图
2. Kruskal算法：O(|E|log₂|E|)
   适用于边稀疏图

思想

Prim
1.



松弛算法，更新其他未加入树的结点到新结点的距离
2.




3.



时间复杂度分析：
从V 0 开始，总共需要 n-1 轮处理(加入n-1个顶点) O(n-1)
每⼀轮处理：循环遍历所有个结点，找到lowCost最低的，且还没加⼊树的顶点。O(n)
再次循环遍历，更新还没加⼊的各个顶点的lowCost值 O(n)
总时间复杂度：O[(n-1)*2n]=O(|V|²)

Kruskal算法：
0.

1.


2.


3.


4.

5.

时间复杂度分析：
共执行e轮，每轮判断两个顶点是否属于同⼀集合，需要 O(log 2 e)
总时间复杂度 O(elog₂e)

最短路径

BFS算法(无权图)

void Best_Min_BFS(Graph G,int v){
	d[i] = ∞；//距离
	path[i] = -1;//前驱
	
	d[v] = 0;
	vis[v] = true;
	EnQueue(v);
	while(!isEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);
		for(w = FirstNeigbor(G,v);w>=0;w = NextNeigbor(G,v,w)){
			if(!vis[w]){
				vis[w] = true;
				d[w] = d[v]+1;
				path[w] = v;
				EnQueue(w);
			}//if
		}
	}
}

Dijkstra算法

①、初始化 →②、FindMin→③、松弛→④是否还有结点(回到2)

1.


松弛算法

2.




3.



4.




时间复杂度：==O(n²)==既O(|V|²)
Dijkstra 算法不适⽤于有负权值的带权图

Floyd算法

可解决带“负权图”，不能解决带负权回路图

for(int k = 0;k<n;k++){
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){
				A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];
				path[i][j] = k;
			}
		}
	}
}

时间复杂度：O(n³)

总结

有向无环图

有向⽆环图：若⼀个有向图中不存在环，则称为有向⽆环图，简称DAG图

DGA描述表达式

用有向无环图表示可以实现对相同子式的共享，从而节约存储空间

解题方法：
1.

2.

3.

4.

拓扑排序

AOV网：⽤==DAG图（有向⽆环图）==表示⼀个⼯程。


AOV网不存在回路

拓扑排序：找到做事的先后顺序
每个AOV⽹都有⼀个或多个拓扑排序序列。

bool TopoLogicalSort(Graph G){
	InitStack(S);
	for(int i=0;i<G.vexnum;i++){
		if(indgree[i]==0) Push(S,i);//将所有入度为0的顶点进栈

	}
	
	int count = 0;
	while(!S.isEmpty()){
		Pop(S,i);
		print[count++]=i;//输出顶点i
		for(p=G.vertices[i].firstarc;p!=NULL;p=p->nextarc){
		//将所有i指向的顶点的入度减1，并且将入度减为0的顶点压入栈S
			v = p->adjvex;//指向的顶点
			if((--indegree[v])==0) Push(S,v);//入度为0，入栈
		}//while
	if(count<G.vernum) return false;//排序失败，有向图中有回路
	return true;
	}
}

时间复杂度：O(|V|+|E|)

邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列。反之未必

逆拓扑排序

DSF实现逆拓扑排序

关键路径

AOE网
在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销（如完成活动所需的时间），称之为⽤边表示活动的⽹络，简称AOE⽹

性质
① 只有在某顶点所代表的事件发⽣后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始；
② 只有在进⼊某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时，该顶点所代表的事件才能发⽣。
另外，有些活动是可以并⾏进⾏的

关键路径

从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最⼤路径⻓度的路径称为关键路径，⽽把关键路径上的活动称为关键活动

1. 事件v_k的最早发生时间ve(k)
   

ve(源点) = 0
2. 活动a_i的最早开始时间e(i)

3. 事件v_k的最迟发生时间vl(k)

4. 活动a_i的最迟开始时间l(i)