概述
如果我们有一个上半球的余弦分布函数 ( D o ) (D_{o}) (Do)，并对这个余弦分布函数进行一个矩阵 ( M ) (M) (M)变换，变换为一个新的分布函数 ( D ) (D) (D)。
- D = M D o D = M D_{o} D=MDo
这就是基本思想：用一个余弦分布函数来拟合出不同的分布函数，并且误差很小。
LTC基本定义与性质
我们定义 D o D_{o} Do为我们的基函数，也就是我们的原始分布函数。
我们在 D o D_{o} Do上采样一个方向向量 ω o \omega_{o} ωo，那么我们对这个方向向量做一个线性变换，也就是做一个 M M M矩阵乘法变换为一个新的方向向量 ω \omega ω。
- ω = M ω o ∣ ∣ M ω o ∣ ∣ \omega = \frac{M\omega_{o}}{||M\omega_{o}||} ω=∣∣Mωo∣∣Mωo,
- ω o = M − 1 ω ∣ ∣ M − 1 ω ∣ ∣ \omega_{o} = \frac{M^{-1}\omega}{||M^{-1}\omega||} ωo=∣∣M−1ω∣∣M−1ω,
那么一个目标分布函数 D ( ω ) D(\omega) D(ω)如何变换为 D o ( ω o ) D_{o}(\omega_{o}) Do(ωo)呢？
即就是一个变量替换：
- D ( ω ) = D o ( ω o ) ∂ ω o ∂ ω = D o ( M − 1 ω ∣ ∣ M − 1 ω ∣ ∣ ) ∣ M − 1 ∣ ∣ ∣ M − 1 ω ∣ ∣ 3 D(\omega) = D_{o}(\omega_{o})\frac{\partial\omega_{o}}{\partial\omega} = D_{o}(\frac{M^{-1}\omega}{||M^{-1}\omega||})\frac{|M^{-1}|}{||M^{-1}\omega||^{3}} D(ω)=Do(ωo)∂ω∂ωo=Do(∣∣M−1ω∣∣M−1ω)∣∣M−1ω∣∣3∣M−1∣
∂ ω o ∂ ω = ∣ M − 1 ∣ ∣ ∣ M − 1 ω ∣ ∣ 3 \frac{\partial\omega_{o}}{\partial\omega} = \frac{|M^{-1}|}{||M^{-1}\omega||^{3}} ∂ω∂ωo=∣∣M−1ω∣∣3∣M
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
4914
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
