快速幂与矩阵快速幂【入门+基础】

快速幂

如果我们要计算𝑎^𝑏 mod p,我们首先能想到的便是for循环:

int ans=1;
for(int i=1;i<=b;i++) 
	ans*=a;
return   ans%p;

下面我们来看看两个例子，想一想会出现什么奇葩结果呢？
奇葩结果1： 2¹⁰⁰ mod 1000 = 0
奇葩结果2： 5^2𝑒12 mod 1000 ……

那第一个奇葩结果就是 2^100 已经溢出了。
第二个结果我们能一眼看出来，就是循环次数太多了。所以说解决这个问题O(n)是不行的。

1.解决溢出问题：

此时我们需要引进一个取模公式
(axb)%p=[(a%p)x(b%p)]%p
怎样将这个公式运用到编程里面，就需要边乘边取余，最后结果再取余

int ans=1;
for(int i=1;i<=b;i++) 
	ans=(ans%p * a%p)%p;
return   ans;

2.降低复杂度：

引进这节课的新算法，那就是快速幂算法，是一个O(logn)
的算法，下面来讲一下递归实现和非递归实现的方式。
学快速幂之前我们需要先了解以下公式:
𝑎^(𝑚+𝑛)=𝑎^𝑚 *𝑎^𝑛

递归实现

算法过程是将b不断地二分，先来看看两个简单的例子。
例1：            例2：
5¹⁶= 5⁸ * 5⁸         5⁹ = 5⁴ * 5⁴ *5
5⁸ = 5⁴ * 5⁴         5⁴ = 5² * 5²
5⁴ = 5² * 5²        5² = 5¹ * 5¹
5² = 5¹ * 5¹         5¹ = 5⁰ * 5
5¹ = 5⁰ * 5
首先，我们应该知道任何数的1次方是等于它本身的，或者任何数的0次方是等于1的，所以这两个条件就可以作为递归出口的条件，下面我们来看一下代码。

ll fast_power(ll a,ll b,ll p){
   
   
	if(b==0)	return 1;
	a%=p;
	//a^(b/2)
	ll c=fast_power(a,b>>1,p);
	if(b&1)
		return c*c%p*a%p;
	return c*c%p;
}

非递归实现

非递归算法我们就要用到，幂用二进制表示，还是来看看一个简单例子
2¹³ = 2^(1101)2 = 2⁸ * 2⁴ * 2¹
思路：我们可以设置一个连乘器；将幂作为循环条件，连乘器每次乘(当前指数的二进制最低位为1时)的底数，底数一直做平方运算，n一直在除以2。先来看看下边的例子
2¹³= 4