动态规划背包part01 -- 01背包的应用

LeetCode1049.最后一块石头的重量 II

题目链接：1049. 最后一块石头的重量 II

转化为01背包问题：

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 石头的重量，价值也为石头的重量
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

# 一维dp
class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        total_sum = sum(stones)

        target = total_sum // 2

        dp = [0] * (target + 1)

        for i in range(len(stones)):
            for j in range(target, stones[i] - 1, -1):	# 注意一维dp内层遍历要从大到小
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])

        return total_sum - dp[target] - dp[target]

    
# 二维dp
class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        total_sum = sum(stones)
        length = len(stones)

        target = total_sum // 2

        dp = [[0 for _ in range(target + 1)] for _ in range(length)]
        for i in range(length):
            dp[i][0] = 0

        for i in range(target + 1):
            if stones[0] <= i:
                dp[0][i] = stones[0]

        for i in range(1, length):
            for j in range(1, target + 1):
                if stones[i] > j:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-stones[i]] + stones[i])

        return total_sum - dp[length-1][target] - dp[length-1][target]

LeetCode494.目标和

题目链接：494. 目标和

转化为01背包问题：

假设加法的总和为x，减法的总和为y，那么有x - y = target，x + y = sum，那么x = (target + sum) / 2，所以问题可以转化为装满容量为x的背包，有多少种装法

使用一维滚动数组

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[j]表示填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

2. 确定递推公式

   递归公式： dp[j] += dp[j - nums[i]];;

3. dp数组初始化

   dp[0] = 1，所有的dp数组都是由dp[0]叠加起来的，所以初始化为1。eg：数组[0]，target = 0, dp[0] = 1

4. 遍历顺序

   nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

5. 举例推导

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        n = len(nums)
        total_sum = sum(nums)

        if (total_sum + target) % 2 != 0 or abs(target) > total_sum:	#bagSize一定要是整数，并且target的绝对值不能大于数组总和
            return 0

        bag_size = (total_sum + target) // 2
        dp = [0] * (bag_size + 1)
        dp[0] = 1

        for i in range(n):
            for j in range(bag_size, nums[i] - 1, -1):
                dp[j] += dp[j-nums[i]]

        return dp[bag_size]

LeetCode474.一和零

题目链接：474. 一和零

1. dp数组：dp[i][j]表示的是有i个1和j个0的最大子集长度

2. 递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-one_num][j-zero_num] + 1)

3. 初始化：全都为0即可

4. 遍历顺序：从大到小遍历

5. 举例推导

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]

        for str_ in strs:
            zero_num = str_.count('0')
            one_num = str_.count('1')

            for i in range(n, one_num - 1, -1):
                for j in range(m, zero_num - 1, -1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-one_num][j-zero_num] + 1)
        
        return dp[n][m]