DSA数据结构与算法 1

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1.2 数据结构的基本概念

数据结构是计算机科学中的一项核心技术，它主要涉及如何有效地组织和管理数据，从而提升程序或操作流程的执行效率。数据结构通过结构化的方式，描述了数据元素之间的关系，并决定了数据的存储、获取和修改方式。

简单来说，数据结构就是数据之间逻辑关系的结构化表达。它的作用类似于建筑图纸中各个构件之间的组织方式。

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1.2.1 基本术语

在程序设计和软件开发过程中，数据结构是构建系统的基本构件。合理地选择数据结构，是每个程序员需要解决的关键问题。以下是一些常见的术语：

• 数据（Data）：数据是最基本的信息单位，可以是单个值，也可以是值的集合。比如学生的姓名、学号都可以看作是数据。

• 组项（Group Item）：由多个子数据组成的数据项。例如，一个人的姓名可以由“姓”和“名”组成，这就是组项的体现。

• 记录（Record）：记录是多个数据项的集合。例如，一个学生的记录可能包含姓名、地址、课程、成绩等信息。

• 文件（File）：文件是多个记录的集合。例如，一个包含60名员工的文件将包含60条记录，每条记录描述一名员工。

• 属性与实体（Attribute & Entity）：实体是同一类对象的集合，每个实体拥有若干个属性。例如，"学生"是一个实体，它可能包含“姓名”“年龄”“专业”等属性。

• 字段（Field）：字段是信息的最小单位，是属性的具体表现。例如，“年龄”字段表示某个学生的年龄。

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1.2.2 为什么需要数据结构

• 提供不同层次的数据组织方式
• 定义了数据在基本层面上的存储与访问方式
• 能够对成组数据进行统一操作，如插入元素、查找优先级最高的元素等
• 高效地管理大量数据，降低资源消耗
• 实现高效的数据查找与排序

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1.2.3 数据结构的目标

数据结构的核心目标有两个：

• 正确性（Correctness）
  数据结构需要能够准确处理所有类型的输入，确保其输出始终是正确的。简而言之，数据结构的首要任务是保证它能够根据给定的规则和需求有效地工作。正确性通常与解决特定问题的需求紧密相连。例如，在一个排序算法中，正确性意味着无论输入数据如何，最终结果必须是一个有序的列表。

• 高效性（Efficiency）
  数据结构不仅要保证正确处理数据，还要尽可能提高处理速度，并且尽量减少对计算资源（如内存和CPU时间）的消耗。在实际应用中，尤其是需要实时响应的系统，如视频流处理或大型数据库查询，高效性显得尤为重要。高效的算法可以保证系统快速响应，不因资源耗尽而导致性能下降，从而影响整体操作的流畅性。例如，在一个图形处理应用中，高效的数据结构可以快速地查找、插入和删除元素，从而保持应用的高性能。

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1.2.4 数据结构的特性

一些关键特性包括：

- 健壮性（Robustness）

一个健壮的软件系统应该能够应对各种情况下的输入，无论是有效输入还是无效输入，都能保证程序稳定运行。换句话说，程序应能容忍异常情况并在出现问题时给出有意义的反馈，而不会崩溃或产生错误。举个例子，考虑一个电子商务平台，用户可能会输入无效的订单信息，健壮的数据结构能够合理处理这些异常并引导用户进行更正，而不会导致系统的崩溃。

- 适应性（Adaptability）

随着时间的推移，软件系统往往需要根据新的需求进行调整和升级。如果数据结构具备高度的适应性，软件就能更加容易地处理需求变动。例如，在社交媒体平台上，用户行为会随着时间和趋势的变化而改变，适应性强的数据结构能够有效处理这些变化，支持平台对用户需求和功能的动态调整。

- 可重用性（Reusability）

高可重用性意味着一段代码或数据结构可以在多个不同的场景或项目中复用，从而降低开发成本并提高开发效率。举个例子，在开发一款财务管理软件时，设计良好的数据结构可以被用于多个模块，比如用户管理、账单生成和交易记录，减少了重复开发的工作。通过构建通用、模块化的结构，程序员可以在不同的项目中重复利用已有的代码，不仅提高了效率，还节省了开发成本。

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1.3 数据结构分类

数据结构是由一组变量组成，这些变量通过不同的方式相互关联。它为编程工具提供了基础，能够表示数据元素之间的关系，并帮助程序员高效地处理数据。根据数据结构的不同特点，它可以分为两大类：

1.3.1 原始数据结构

原始数据结构是由程序中直接使用的基本数据类型组成，这些数据类型本质上是程序中最简单的构成单位，可以通过计算机的机器指令直接操作。常见的原始数据类型包括整数、实数、字符和布尔类型，这些通常被统称为基本数据类型，因为它们是无法进一步拆分的最小单位。

解释：

• 整数（Integer）：用于表示不带小数的数字。
• 实数（Real）：用于表示带有小数部分的数字。
• 字符（Character）：表示单个字母、数字或符号。
• 布尔值（Boolean）：表示真或假的二值类型。

这些数据类型是编程中的基础元素，它们可以直接由计算机硬件操作，适用于各种运算和操作。

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1.3.2 非原始数据结构

非原始数据结构是由原始数据结构派生出来的数据结构。它们无法直接通过机器级指令进行操作或处理，而是基于一定规则和结构来组织数据。这类数据结构侧重于形成由一组数据元素构成的数据集，这些数据元素可以是同质的（相同数据类型），也可以是异质的（不同数据类型）。

非原始数据结构进一步分为线性数据结构和非线性数据结构，这取决于数据元素的结构和排列方式。

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1.3.2.1 线性数据结构

线性数据结构是指在数据元素之间保持线性关系的数据结构。在线性数据结构中，数据按顺序排列，这意味着每个元素都只有一个前驱和一个后继。在内存中，这些数据可能并非顺序存储，但在逻辑结构上，它们是线性连接的。

例如，常见的线性数据结构有：

• 数组（Array）：数据按顺序存储在内存中，可以通过索引快速访问。
• 链表（Linked List）：每个数据元素包含指向下一个元素的指针，形成一个线性链条。
• 栈（Stack）：遵循先进后出（LIFO）原则的数据结构，元素从一端插入和删除。
• 队列（Queue）：遵循先进先出（FIFO）原则的数据结构，元素从一端插入，从另一端删除。

这些数据结构通过线性的方式组织数据，使得对数据的操作更加直接和高效。

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1.3.2.2 非线性数据结构

非线性数据结构是指数据元素之间没有顺序关系的数据结构。在这种数据结构中，数据元素之间存在层次化的关系，数据并不是按线性顺序排列的。在非线性数据结构中，插入和删除数据不再是线性进行的。

常见的非线性数据结构包括：

• 树（Tree）：树状结构包含父子关系，每个节点可以有多个子节点，广泛用于表示层级结构。
• 图（Graph）：图由节点和边组成，节点之间的关系可以是任意的，没有固定的顺序，常用于表示复杂的网络结构。

树和图是典型的非线性数据结构，在实际应用中，它们广泛用于解决更为复杂的关系问题，比如社交网络、网页链接、计算机网络等领域。

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I) 数组

数组通常指的是数据元素的有序排列。数组是一种数据结构，它将数据元素存储在相邻的位置。数组被视为线性数据结构，存储相同数据类型的元素，因此也称为线性同质数据结构。

数组的声明与初始化

在声明数组时，我们可以通过花括号 { } 来为数组的每个元素赋予初始值。
举个例子，下面是声明并初始化一个数组的代码

int Numbers [5] = { 10, 20, 30, 40, 50 };

这段代码会创建一个包含5个整数的数组。在这个例子中，数组的大小（在方括号 [] 中指定的5）与花括号 { } 中的元素数量相匹配。每个元素对应着初始值，因此数组 Numbers 将包含五个整数，它们的值分别为10、20、30、40和50。

数组的分类

数组可以分为一维数组、二维数组或多维数组。

• 一维数组：它包含一行数据元素，所有元素顺序存储在内存中。例如，表示一组学生的成绩，可以用一维数组存储每个学生的分数。

• 二维数组：它包含多个行和列的数据元素，通常用于表示表格或矩阵。例如，可以用二维数组存储一个班级每个学生的多科成绩，第一维是学生，第二维是科目。

-多维数组：这是包含多层索引的数组，可以理解为数组的数组。例如，三维数组可以表示一个三维空间中的数据，通常用于图像处理或科学计算领域。

• 数组的局限性
  固定大小：数组的大小在声明时就已经确定，不能在运行时动态改变。这限制了它在处理动态数据时的灵活性。

• 存储连续内存位置：数据元素被存储在连续的内存位置中，这些位置可能并不总是可用的。尤其是在内存碎片较多的系统中，可能无法找到足够的连续空间来存储大型数组。

• 插入和删除元素的问题：数组中的插入和删除操作会涉及到元素的移动，这可能导致性能问题，因为在数组的中间插入或删除元素时，必须移动其他元素以保持数组的顺序。

然而，这些局限性可以通过使用链表等其他数据结构来解决，链表允许元素在内存中不必是连续存储的，因此在动态内存管理上比数组更具优势。

数组的应用

存储同一数据类型的元素列表：数组非常适合存储大量相同类型的数据，如一组整数或字符串。
作为其他数据结构的辅助存储：例如，栈、队列、哈希表等数据结构常使用数组来存储临时数据。
存储固定数量的二叉树元素：在实现固定大小的树结构时，数组可以高效地存储树的节点。
矩阵存储：数组广泛用于存储矩阵，尤其在科学计算中非常有用。二维数组就是一个常见的矩阵实现方法。

II) 链表

链表是一种数据结构，其中每个数据元素都包含一个指针或链接，指向列表中的下一个元素。通过链表，可以在线性列表的任何位置插入和删除数据元素。链表的一个显著特点是，数据元素不必存储在连续的内存位置中。每个数据项都在自己的内存块中分配空间。因此，链表被视为一个数据元素或记录的链条，称为“节点”。链表中的每个节点包含两个部分：信息域和指针域。信息域存储实际的数据，而指针域存储指向列表中下一个节点的地址。

图 1.3：链表

图1.3展示了一个包含四个节点的链表。每个节点都有两个部分：左边部分是信息部分，存储着一个完整的数据项记录；右边部分是指向下一个节点的指针。最后一个节点的指针域包含一个空指针（null pointer），表明链表的结束。

优势：

• 插入和删除操作更加容易：链表不要求数据元素存储在连续的内存地址中，因此可以灵活地在任何位置插入或删除数据。

缺点：

• 查找操作较慢：由于数据项之间没有按顺序存储，查找一个特定元素需要从头节点开始，逐一遍历整个链表，因此查找操作的效率较低。
• 需要更多的内存空间：每个节点除了存储数据外，还需要额外的内存来存储指向下一个节点的指针，导致链表在存储上较为消耗内存。

应用场景：

• 实现栈、队列、二叉树和图：链表广泛用于这些数据结构的实现，尤其是在预定义大小的情况下，它能够灵活管理内存。
• 操作系统的动态内存管理：链表用于操作系统中管理动态分配和回收的内存块，例如在内存池的管理中，链表能够帮助操作系统高效地进行内存的动态分配。
• 数学运算的多项式实现：多项式通常用链表来存储和操作，因为多项式的系数可以不规则分布，链表可以高效地管理这些数据。
• 循环链表在操作系统中的应用：循环链表可以用来实现操作系统或应用程序中需要轮询任务执行的场景，例如时间共享操作系统的任务调度。
• 幻灯片播放应用：在幻灯片演示中，用户希望在展示最后一张幻灯片后返回到第一张幻灯片，循环链表非常适合用于这种需求。
• 双向链表在浏览器中的应用：双向链表通常用于实现浏览器中的“前进”和“后退”按钮，允许用户在网站的各个页面之间来回跳转。
• 循环队列在游戏中的应用：循环队列用于管理多玩家游戏中的播放顺序，确保每个玩家按顺序轮流进行游戏操作。

栈

栈是一种线性数据结构，其中元素的插入和删除只能在同一端进行，这一端称为栈顶。栈也被称为“后进先出”（LIFO，Last In, First Out）结构，因为最后被加入栈的元素是第一个被删除的元素。

图 1.4：栈

在计算机内存中，栈可以通过数组或链表来实现。图1.4展示了栈的示意图。这里，元素FF是栈顶，元素AA是栈底。元素从栈顶添加。由于栈遵循LIFO模式，元素EE在元素FF被删除之前不能删除，元素DD在元素EE被删除之前不能删除，以此类推。

应用场景：

• 递归操作的临时存储结构：栈在处理递归调用时非常有用，递归函数调用会通过栈来存储返回地址和局部变量。
• 嵌套操作的辅助存储结构：例如，函数调用的嵌套、延迟/推迟函数执行等，栈用于存储这些操作的上下文信息。
• 管理函数调用：栈常用于管理程序中的函数调用，当一个函数被调用时，其返回地址和局部变量被压入栈中，调用结束后从栈中弹出。
• 算术表达式的求值：在许多编程语言中，栈用于实现算术表达式的计算，尤其是在中缀表达式转换为后缀表达式时。
• 中缀表达式转换为后缀表达式：栈用于表达式的转换，如中缀表达式转后缀表达式，这是编译器中常用的算法。
• 检查编程环境中的表达式语法：栈用于检查程序中的括号是否配对，或者其他语法规则的验证。
• 括号匹配：栈在解析和匹配括号时非常有用，特别是在处理复杂表达式时，栈可以帮助确定括号是否正确配对。
• 字符串反转：栈可以反转字符串，因为栈遵循LIFO规则，这样最后插入的字符会最先输出。
• 回溯问题的求解：许多回溯算法基于栈，例如解决迷宫问题、八皇后问题等。
• 图和树遍历中的深度优先搜索：在图的深度优先搜索（DFS）和树的深度优先遍历中，栈用于保存节点，以便后续访问。
• 操作系统功能：栈在操作系统中广泛用于管理函数调用、进程控制以及中断处理等。
• 编辑器中的撤销和重做功能：在文本编辑器中，栈用于实现撤销（UNDO）和重做（REDO）操作，用户可以回到之前的编辑状态。

IV) 队列

队列是一种“先进先出”（FIFO，First In First Out）数据结构，在这种结构中，第一个被插入的元素是第一个被取出的元素。队列中的元素是从一端（称为队列的后端）插入的，从另一端（称为队列的前端）删除的。与栈类似，队列也可以通过数组或链表实现。

图1.5展示了一个包含4个元素的队列，其中55是队列的前端元素，65是队列的后端元素。元素可以从后端添加，从前端删除。

图1.5：队列

应用场景：

• 图的广度优先搜索（BFS）操作：队列在图的遍历中被广泛应用，特别是在实现广度优先搜索时，用于按层次访问节点。
• 操作系统的作业调度：例如打印缓冲队列、键盘缓冲队列，用来存储用户按下的按键。
• 作业调度、CPU调度、磁盘调度：队列常用于操作系统中多任务的调度，确保任务的按顺序处理。
• 优先队列在浏览器中的文件下载：优先队列用于处理下载任务，根据优先级来调度文件下载。
• 外设与CPU之间的数据传输：在许多系统中，队列用于管理从外设到CPU的数据流。
• 用户应用程序对CPU生成的中断：用于管理和调度来自不同应用程序的中断。
• BPO中的客户呼叫管理：在外包服务中，队列用于管理客户的呼叫和请求。

V) 树

树是一种非线性数据结构，其中数据按照分支组织。树中的数据元素是按排序顺序排列的，并且为数据元素强加了一种层次结构。

图1.6展示了一个包含8个节点的树。树的根节点是位于顶部的节点60。节点29和44是节点60的后继节点。节点6、4、12和67是终端节点，因为它们没有后继节点。

图1.6：树

优势：

• 提供快速的搜索、插入和删除操作。

劣势：

• 删除算法较为复杂。

应用场景：

• 计算机系统中的层次结构实现：例如目录和文件系统的实现，树形结构非常适合表达层级关系。
• 网站的导航结构：树常用于表示网站中的页面结构或内容层次。
• 编码生成，如霍夫曼编码：在数据压缩中，树结构用于生成高效的编码。
• 游戏应用中的决策制定：树可以用来表示游戏中的决策树，帮助做出最佳决策。
• 操作系统的优先队列实现：优先队列用于操作系统的任务调度中，根据任务优先级执行任务。
• 编程语言编译器中的表达式和语句解析：树结构用于解析和表示表达式的语法结构。
• 数据库管理系统中的数据索引：树结构用于索引数据库中的数据，提高查询效率。
• 计算机和通信网络中的生成树：生成树算法用于网络路由决策。
• 哈希树：在分布式存储系统中使用哈希树来进行数据验证。
• 路径规划算法的实现：在人工智能、机器人技术和视频游戏应用中，树结构可以帮助进行路径规划。

VI) 图

图也是一种非线性数据结构。在树形数据结构中，所有数据元素都以确定的层次结构存储。换句话说，每个节点只有一个父节点。而在图中，每个数据元素被称为一个顶点（vertex），并通过称为边（edge）的连接与其他顶点相连。

因此，图被视为一种数学结构，由一组顶点和一组边组成。图1.7展示了一个包含六个节点A、B、C、D、E、F的图，以及七条边：$[A,B]$、$[A,C]$、$[A,D]$、$[B,C]$、$[C,F]$、$[D,F]$、$[D,E]$。

图1.7：图

优势：

• 最能模拟现实世界中的各种情况，特别是在处理复杂的网络结构时，图提供了很好的建模能力。

劣势：

• 一些图算法较慢且非常复杂。

应用场景：

• 表示通信、交通和旅行中的网络与路线：图可以用来表示城市之间的交通网络、航班网络等。
• GPS中的路线规划：图在GPS导航中用于计算最佳路径。
• 社交网络及其他基于网络的应用中的互联关系：社交网络图可以帮助理解人际关系和信息流动。
• 地图应用：图被用来在电子地图中表示地理位置及其连接关系。
• 电子商务应用中展示用户偏好：图结构在推荐系统中用于存储和分析用户偏好。
• 公用事业网络中的问题识别：例如，电力、供水等公用事业公司通过图分析来发现网络中的问题。
• 组织中的资源利用和可用性：图用于管理公司资源，优化资源的分配与使用。
• 网站文档链接图：网站的页面之间通过超链接相互连接，图用于展示这些连接关系。
• 机器人运动与神经网络：在机器人路径规划和神经网络中，图结构用于建模和优化运动过程。

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