反常积分（1.反常积分概念）

最新推荐文章于 2024-09-03 23:52:13 发布

橘子蜂蜜

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分类专栏：数学分析

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本文探讨了反常积分的概念，包括无穷积分和瑕积分的定义，以及它们的收敛性和发散性。通过具体例子展示了如何判断反常积分的性质。

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定义：

无穷积分

设函数 $f$ 定义在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上，且在任何有限区间 $[a,u]$ 上可积，如果存在极限 $\lim_{u\to +\infty}\int_{a}^{u}f(x)dx=J$ （1）则称此极限 $J$ 为函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的无穷反常积分（简称无穷积分），记作 $J=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 并称 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛，如果极限（1）不存在，为方便起见，称 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 发散。
瑕积分
设函数 $f$ 定义在区间 $(a,b]$ 上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间 $[u,b]\subset (a,b]$ 上有界且可积，如果存在极限 $\lim_{u\to a^+}\int_{u}^{b}f(x)dx=J$ （2）则称此极限为无界函数 $f$ 在 $(a,b]$ 上的反常积分，记作 $J=\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，并称反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收敛，如果极限（2）不存在，反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 发散，点a称为 $f$ 的瑕点，无界函数反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 又称为瑕积分。

典例

例1.讨论无穷积分 $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 的收敛性。

解：由于 $\int_{1}^{u} dx/x^p = \left\{\begin{matrix} (1/(1-p))(u^1^-^p-1),p\neq 1 & & \\ ln u,p=1 \end{matrix}\right.$ $\lim_{u\to +\infty} \int_{1}^{u}dx/x^p= \left\{\begin{matrix} 1/p-1,p>1&\\ln u,p=1. \end{matrix}\right$ 因此当p>1时收敛，其值为 $\frac{1}{p-1}$ 当 $p\leqslant 1$ 时发散于 $+\infty$ .

例2.讨论瑕积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}(p>0)$ 的收敛性。

解：被积函数在(0,1]上连续，x=0为其瑕点。由于 $\int_{u}^{1}dx/x^p= \left\{\begin{matrix}1/1-p(1-u^{1-p}),p\neq 1&\\ -ln u,p=1 \end{matrix} \right,(0<u<1)$ 且 $\lim_{u\to 0^+}\int_{u}^{1}x^{-p}dx= \left\{\begin{matrix} 1/1-p,p<1&\\ +\infty ,p\geqslant 1\end{matrix}\right$ 故当0<p<1时，瑕积分收敛于 $\frac{1}{1-p}$ 当 $p\geqslant 1$ 时，瑕积分发散于 $+\infty$ 。