定积分的应用（二）

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博客主要介绍了平面曲线的弧长与曲率。对于平面曲线弧长，分别给出了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程下的弧长计算公式；对于曲率，阐述了其定义，即描述曲线局部弯曲程度，并给出了不同方程形式下曲线在某点处的曲率计算公式。

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一. 平面曲线的弧长

设曲线C由参数方程 $\left\{\begin{matrix} x=x(t)&\\y = y(t) \end{matrix}\right.$ , $t\in [\alpha ,\beta ]$ （1）给出，如果 $x(t)$ 与 $y(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续可微，且 $x'(t)$ 与 $y'(t)$ 不同时为零，则称C为一条光滑曲线。

参数方程 $\left\{\begin{matrix} x=x(t)&\\y = y(t) \end{matrix}\right.$ ， $t\in [\alpha ,\beta ]$ ，C是可求长的，弧长 $S=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$

直角坐标方程 $y=f(x), x\in [\alpha ,\beta ]$ ，把它看作参数方程 $x=r(\theta )cos\theta,y=r(\theta)sin\theta,\theta\in[\alpha,\beta]$ ，C是可求长的，弧长 $S=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

极坐标方程 $r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]$ ，把它化为参数方程 $x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta,\theta\in[\alpha,\beta]$ ,弧长 $S=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}d\theta$

二. 曲率

曲率：描述曲线局部性态的弯曲程度。

$\alpha (t)$ ：曲线在点P（x(t),y(t)）处切线的倾角，倾角的增量 $\Delta \alpha=\alpha(t+\Delta t)-\alpha(t)$ ,动点由P沿曲线移至Q（ $x(t+\Delta t),y(t+\Delta t)$ ）, $\Delta S$ :弧PQ的长， $\bar K=\left | \Delta \alpha/\Delta s \right |$ 为弧段PQ的平均曲率,若存在有限极限 $K=\left | \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right |=\left | \lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s} \right |=\left | \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s} \right |$ ,则称此极限K为曲线C在点P处的曲率。

参数方程 $\left\{\begin{matrix} x=x(t)&\\y = y(t) \end{matrix}\right.$ ， $t\in [\alpha ,\beta ]$ ，曲率 $K=\left | \frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}} \right |$ ，