Dijkstra Bellman Ford SPFA Floyd算法复杂度比较

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                Dijkstra：适用于权值为非负的图的单源最短路径，用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV)

BellmanFord：适用于权值有负值的图的单源最短路径，并且能够检测负圈，复杂度O(VE)

SPFA：适用于权值有负值，且没有负圈的图的单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个节点进入Queue的次数，且k一般<=2，但此处的复杂度证明是有问题的，其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).

Floyd：每对节点之间的最短路径。

先给出结论：

(1)当权值为非负时，用Dijkstra。

(2)当权值有负值，且没有负圈，则用SPFA，SPFA能检测负圈，但是不能输出负圈。

(3)当权值有负值，而且可能存在负圈，则用BellmanFord，能够检测并输出负圈。

(4)SPFA检测负环：当存在一个点入队大于等于V次，则有负环，后面有证明。

本文针对SPFA算法进行分析。

本文解决问题有：

(1)证明SPFA算法最坏复杂度。

(2)为什么存在一个点进入队列V次，就说图有负环。

SPFA是 西安交通大学的段凡丁在1994年与《西安交通大学学报》中发表的“关于最短路径的SPFA快速算法”，他在里面说SPFA速度比Dijkstra快，且运行V次的SPFA速度比Floyd速度快，当时我就产生了疑惑：为什么他这么快，在一些经典的书籍中都没有出现过，也没被提及过。

事实证明SPFA算法是有局限的，他不适用于稠密图，对于特别情况的稠密图，SPFA复杂度和BellmanFord时间一样。

最优时间复杂度先不看。

下面来证明SPFA 最坏时间复杂度：

思路：

(1)找出SPFA的最最坏到不可能的情况的复杂度为O(VE)。

(2)找出SPFA确实有图，使得跑SPFA的复杂度为O(VE)。

我原本想举一个例子来说明SPFA存在O(VE)的情况，但是确实，最坏情况复杂度是不能用举例说明的，谢谢TianMingBu老师的指出。

证明如果有负环当且仅当存在一个点入队列次数大于等于V次。

对于某个点v，我们已知s到v的松弛路径的边的数量最多为V-1。

我这里说