蓝桥杯2017年第八届真题-k倍区间-题解（C++代码）

题目描述：

给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式：
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式：

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入：

5 2
1
2
3
4
5

样例输出：

6

资源限制

内存限制：256.0MB C/C++时间限制：1.0s

原题链接：“蓝桥杯”练习系统

解题思路：前缀和+动态规划

最简单的方法是纯暴力求解，枚举所有的子序列，但是这样做复杂度为O(n^2)，会超时，无法通过所有数据。因此，我们可以对其进行优化，用S[n]存下前n个数的前缀和，当(Sr - Sl) % k == 0时，则区间[l+1...r]是K倍区间，但是用了前缀和后直接去计算，也会超时，只是减少了一部分计算量，复杂度还是O(n^2)。因此，我们还可以进行优化，我们发现(Sr - Sl) % k = 0可以转化成Sr % k = Sl  % k,也就是说当Sr和Sl模k的余数相等时，区间[l+1...r]是K倍区间。因此我们可以创建一个数组remainder来保存每个Si模k的余数，对每个Si，前面(S0....Si - 1)与其模k余数相等的个数即为以第i个数结尾的子串中(相当于计算(Si - S0) % k == 0 ..... (Si - S(i - 1)) % k == 0)，K倍区间的个数，把每个Si的K倍区间的个数相加即为最后的结果，由于不需要计算Sr - Sl了，因此不必存储Si，只需要在每次输入一个数后计算当前Si即可。

代码如下（C++）：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	long long sum = 0,count = 0;
	int remainder[k];	//定义一个数组，remainder[i]表示Sn % k == i的个数 
	memset(remainder,0,sizeof remainder);
	remainder[0]=1;	//S0 = 0,0 % k = 0,因此S0模k的余数为0, remainder[0]初值为1 
	while(n--){
		int num;
		cin>>num;		
		sum += num;	//计算当前Sn 
		
		count += remainder[sum % k];	//加上与当前Sn对k取模结果相同的Si的个数,即为以第i个数结尾的子串中,K倍区间的个数 
		
		remainder[sum % k]++;	//当前Sn % k == i, remainder[i]个数加1
		
	}
	cout<<count<<endl;
	return 0;
}