Python动态规划之爬楼梯

假设每次只能爬1级或2级台阶,如果要爬到n级台阶,那有多少种爬法?

解题思路:
假设需要爬到第5级台阶,那这个问题可以分解为
4+1 或者 3+2 (即从第4级台阶,走一步上升到第5级;或者从第3级台阶,走两步上升到第5级)。因此,第五级台阶的解法数量就转化为了第四级的解法数量加上第三级的解法数量。这样可以看出,这个问题等同于斐波那契数列。
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
解题代码如下:

n=int(input())
dp=[1 for i in range(n+1)]  #记录每一层阶梯的可能性,为了方便编码,将dp[0]设为1
for i in range(len(dp)):
    if i<2:
        dp[i]=1
    else:
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
print(dp)
print(dp[n])
### 动态规划解决爬楼梯问题 动态规划是一种通过分解复杂问题并保存中间结果来优化整体解决方案的技术[^1]。对于爬楼梯问题,假设每次可以选择爬 1 2 阶梯,则可以通过定义状态转移方程 `dp[i]` 表示到达第 i 层楼梯的不同方法数量。 #### 状态转移方程 如果要达到第 i 层楼梯,可以从第 `(i-1)` 层再走一步者从第 `(i-2)` 层再走两步得到。因此,状态转移方程为: ```plaintext dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] ``` 其中: - `dp[i-1]` 是从前一层跳过来的情况; - `dp[i-2]` 是从前两层跳过来的情况。 初始条件设置如下: - 当楼梯层数为 0 (`n=0`) 时,没有台阶可爬,返回值设为 0。 - 当楼梯层数为 1 (`n=1`) 时,只有一种方式爬上该楼层。 - 当楼梯层数为 2 (`n=2`) 时,有两种方式:一次爬两个阶梯两次各爬一个阶梯。 以下是基于上述逻辑的 Python 实现代码: ```python def climbStairs(n: int) -> int: if n == 0 or n == 1: return 1 dp = [0] * (n + 1) dp[0], dp[1] = 1, 1 for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] return dp[n] # 测试函数 print(climbStairs(3)) # 输出应为 3 ``` 此代码实现了动态规划的核心思想,并利用了一维数组存储每一步的结果以减少重复计算的时间开销[^2]。 #### 进一步优化空间复杂度 由于当前状态仅依赖前两个状态,可以进一步简化空间复杂度至 O(1),即只需要保留最近的两个状态即可完成迭代过程。 下面是改进后的版本: ```python def climbStairsOptimized(n: int) -> int: if n == 0 or n == 1: return 1 prev1, prev2 = 1, 1 for _ in range(2, n + 1): current = prev1 + prev2 prev2 = prev1 prev1 = current return prev1 # 测试优化版函数 print(climbStairsOptimized(3)) # 输出同样为 3 ``` 这种优化不仅保持了时间效率还极大地减少了内存占用量[^4]。
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