Dynamic problem动态规划

参考算法笔记

1.什么是动态规划

2.最大连续子列和

计算一个序列A[]
状态转移方程
dp[i]=max{A[i], dp[i-1]+A[i]}

3.最长不下降子序列

LIS: Longest Increasing Sequence

问题：在一个数字序列中，找一个最长的子序列（可以不连续），
使得这个子序列是非下降的。

方案一

对于每个元素都有选和不选，时间复杂度是$O(2^n)$

方案二

状态转移方程：
dp[i]=max{1, dp[j]+1}
(j=0,1,…,i-1 && A[j]<=A[i])
例题：PAT A1045，讲解

4.最长公共子序列（LCS）

Longest Commom Subsequence, LCS
暴力方法：
对两个字符串m, n，每个字符都有选和不选，然后在比较，总时间复杂度为$O(2^{m+n}\ast max(m,n))$。

dp方法：
dp[ i ][ j ]代表字符A的i号位和字符B的j号位之前的LCS。
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{r}dp[i-1][j-1]+1,A[i]=B[i]\\ max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),A[i]!=B[i]\end{array}$$
边界：$dp[i][0]=dp[0][j],(0<=i<=n,0<=j<=m)$
时间复杂度O(m*n)。

5.最长回文连续子串

对于一个字符串S

1. 暴力枚举：枚举子串两个端点[i, j], 然后判断回文，时间复杂度$O(n^2\ast n)$
2. 令dp[i][j]表示S[i]至S[j]的子串是否为回文串，则有状态转移方程：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{rlr}& dp[i+1][j-1]+1& ,S[i]==S[i]\\ & 0& ,S[i]!=S[i]\end{array}$$
时间复杂度$O(n^3)$。
应该考虑按照子串的初始长度进行枚举（从3到n/2）。

6.背包问题

6.1 01背包问题

有n件物品，每件物品的重量为w[i], 价值为c[i]。现在有一个容量为V的背包，使得背包内物品总价值最大，且每件物品只有一件。

令dp[i][v]表示前i件物品恰好装入容量v的背包里获得的价值。$(0\le i\le n,0\le v\le V)$。

1. 若不放第i件物品，则总价值等于前i-1的物品放入容量v的背包，即dp[i-1][v]。
2. 若放第i件物品，则总价值是前i-1的物品放入容量v-w[i]的背包, 加上c[i]，即dp[i-1][v-w[i]]+c[i]。

所以：$dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-w[i]]+c[i])$
边界条件：dp[0][v]=0。 0<=v<=V。

时间复杂度O(n*V)，空间复杂度也是的。
可以使用滚动数组进行空间复杂度的优化，但是v从V到w[i]（逆序！）。
例题：https://blog.youkuaiyun.com/qq_44761480/article/details/99827377

6.2 完全背包问题

有n件物品，每件物品的重量为w[i], 价值为c[i]。现在有一个容量为V的背包，使得背包内物品总价值最大，每件物品有无数件。

令dp[i][v]表示前i件物品恰好装入容量v的背包里获得的价值。$(0\le i\le n,0\le v\le V)$。

1. 若不放第i件物品，则总价值等于前i-1的物品放入容量v的背包，即dp[i-1][v]。
   2. 若放第i件物品，则总价值是前i的物品放入容量v-w[i]的背包, 加上c[i]，即dp[i][v-w[i]]+c[i]。注意这里i并不是放了多少件，而是前i件物品。
   
   所以：状态转移方程$dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i][v-w[i]]+c[i])$
   边界条件：$dp[0][v]=0。0<=v<=V$。

改成一维形式：
$$dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])$$
注意：v的枚举顺序是正向枚举。