icpc昆明区域赛 热身赛第三题（DP）

昆明热身赛第三题（DP）

赛后AC最为难过。。。。。。。。。。

题意：n栈路灯，在其中k栈路灯下都有一个雕像，每个雕像都有一个大小s。路灯从1标记到n。要做的是将这k个雕像按照s从小到大放到这n个路灯的其中k个位置中即可。将第某个雕像从i位置移动到j位置耗时 s* |i - j| ，求最小总耗时多少可以将雕像排序完毕。

每一个路灯有两个输入量，p表示雕像初始放置的路灯位置，s表示大小。

思路：先将路灯按照大小递增排序，大小相同时按照原来先后顺序。

dp[i][j]：表示前 i 个雕像放到前 j 个位置时的总耗时，第 i 个雕像放到了第 j 个位置。

状态转移：dp[i][j] 表示第 i 个雕像已经放到了第 j 个位置，那么要求这个值，只要找到前面 i - 1 个雕像放到 前面 j - 1 个位置的最小值即可。所以有
$$dp[i][j]=min(dp[i-1][i-1],dp[i-1][i],dp[i-1][i+1],...,dp[i-1][j-1])+s[i]\ast |p[i]-j|$$

优化：不过现在的时间复杂度是 O(n^3) 的，N = 5e3，会T，需要优化一下。
观察上面的式子，可以发现
$$dp[i][j-1]=min(dp[i-1][i-1],dp[i-1][i],dp[i-1][i+1],...,dp[i-1][j-2])+s[i]\ast |p[i]-j+1|$$
所以这里可以进行优化！！！
$$dp[i][j]=min(dp[i][j-1]-s[i]\ast |p[i]-j+1|,dp[i-1][j-1])+s[i]\ast |p[i]-j|$$

然后就可以愉快地进行编程了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 5e3 + 17;
const int INF = 2e18;

int dp[N][N];

struct node{
    int p, s;
}a[N];

int cmp(node a, node b){
    //return a.s < b.s;
    if(a.s == b.s) return a.p < b.p;
    else return a.s < b.s;
}

signed main(){
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= k; ++i){
        cin >> a[i].p >> a[i].s;
    }
    sort(a + 1, a + k + 1, cmp);
    //memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    for(int i = 0; i < N; ++i)
        for(int j = 0; j < N; ++j)
            dp[i][j] = INF;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        dp[1][i] = a[1].s * abs(a[1].p - i);
    }
    for(int i = 2; i <= k; ++i){
        for(int j = i; j <= n; ++j){
            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1] - a[i].s * abs(a[i].p - j + 1), dp[i - 1][j - 1]) + a[i].s * abs(a[i].p - j);
            //cout << i << ' ' << j << ' ' << dp[i][j] << endl;
        }
    }
    int ans = dp[k][n];
    for(int i = k; i <= n; ++i)
        ans = min(ans, dp[k][i]);
    cout << ans;
    return 0;
}