区间DP + 暴力枚举 + 前缀和：堆石子-优快云博客

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"本文介绍了一种结合区间动态规划、暴力枚举和前缀和的方法来解决堆石子的最小费用合并问题。通过定义状态DP[l][r]表示合并区间[l,r]上石子的最小花费，并利用状态转移方程DP[l][r]=min{DP[l][r], DP[l][k]+DP[k+1][r]+sum[l~r]}

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区间DP + 暴力枚举 + 前缀和：堆石子

文章目录

区间DP + 暴力枚举 + 前缀和：堆石子
- - 问题
  - 思路
  - 代码

问题

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思路

首先要注意每次只能合并相邻的石子，没有相邻这个限制就是一个简单的Huffman树贪心问题，有相邻的条件限制就变成了一个经典的区间DP问题
我们将石子的排列看作一个区间，题目要我们求合并n个石子的最小费用，可以看成是求合并区间[1,n]内石子所需最小花费。我们可以定义状态DP[l][r]表示合并区间[l,r]上的石堆的最小花费。而DP[l][r]是如何经状态转移得到的呢？注意到我们如果要合并区间[l,r]，那么我们最后肯定会得到两堆石子，这两堆石子分别是由[l,r]中两个不同区间合并得到的，我们最后再合并这两堆石子，DP[l][r]就得到了。也就是说我们可以将[l,r]再分为两个子区间，DP[l][r]由这两个子区间合并得到。
设我们将[l,r]区间分成了两个子区间[l,k]，[k + 1,r]。k的取值范围为l <= k < r，那么我们得到状态转移方程：
DP[l][r] = min{DP[l][r]，DP[l][k] + DP[k + 1][r] + sum[l ~ r]}
上述状态转移方程表示DP[l][r]等于合并第一个子区间的费用DP[l][k]加上合并第二个子区间的费用DP[k+1][r]，再加上最后一次合并两个石堆的费用（等于区间sum和）。由于我们可以对[l,r]区间进行不同的划分，我们需要求出结果最小的划分，故加入了min函数更新最小值
对于DP[i][i]，表示区间内只有一个元素，合并的费用为0，即DP[i][i] = 0，而DP数组其他元素的初始值为INF。
接下来我们来看如何在程序中求解DP数组，对于上述DP数组的初始值，只有DP[i][i] = 0是可以开启状态转移的，我们不能按左端点进行遍历，那样是求不出状态的，根据状态转移方程的思路，我们若要求合并大区间的费用，必须先求出小区间内合并的费用，为了求解DP数组，我们只能对区间长度从小到大进行枚举（第一层循环），接下来枚举左端点（第二层循环），根据左端点和长度计算出右端点，接着进行状态转移过程枚举分界点即k（第三层循环）。
状态转移方程中的区间和用前缀和数组实现即可。

代码

import java.util.*;

public class Main {
   
    static