染色法判断二分图模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,M=200010;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx,n,m,color[N];
inline void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
inline void read(int &x)
{
	int w=1;x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	x*=w;
}
inline bool dfs(int u,int c)
{
	color[u]=c;
	for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
	{
		int j=e[i];
		if(!color[j])
			if(!dfs(j,3-c))	return false;
		else if(color[j]==c)	return false;
	}
	return true;
}
int main()
{
	read(n); read(m);
	memset(h,-1,sizeof h);
	while(m--)
	{
		int a,b;
		read(a); read(b);
		add(a,b); read(b,a);
	}
	bool flag=true;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!color[i])
			if(!dfs(i,1))
			{
				flag=false;
				break;
			}
	if(flag)	puts("Yes");
	else	puts("No");
}
### 二分图染色法的原理解释 二分图是指能够将所有顶点划分为两个互不相交的子集 \( U \) 和 \( V \),使得每条边的一个端点属于 \( U \),另一个端点属于 \( V \)[^3]。为了验证一个给定的无向图是否为二分图,可以通过 **染色法** 实现。 #### 染色法的核心思想 染色法通过为图中的每个节点分配两种不同颜色(通常称为红色和蓝色)来检测是否存在冲突。具体来说: - 初始状态下,所有节点均未被染色。 - 随机选取一个未染色的节点并赋予其一种颜色(例如红色)[^1]。 - 对于已染色的节点,尝试为其所有邻居节点赋上与其相反的颜色(例如,如果当前节点是红色,则邻居应为蓝色)[^2]。 - 如果在上述过程中发现某个节点已经被染上了与预期不符的颜色,则表明该图无法构成二分图。 #### 算法实现细节 染色过程可以借助深度优先搜索 (DFS) 或广度优先搜索 (BFS) 完成。以下是基于 DFS 的伪代码示例: ```python def is_bipartite(graph, node, colors): stack = [(node, 0)] # 起始节点及其初始颜色(假设为0) while stack: current_node, color = stack.pop() if colors[current_node] != -1: # 当前节点已被访问过 if colors[current_node] != color: # 发生颜色冲突 return False continue colors[current_node] = color # 给当前节点染色 for neighbor in graph[current_node]: stack.append((neighbor, 1 - color)) # 将邻居节点压入栈,并准备染反色 return True ``` 在此基础上,对于整个图而言,需逐一处理尚未染色的部分连通分支,直到完成全部节点的检查为止。 #### 时间复杂度分析 由于每次仅需遍历一次图的所有边以及顶点即可完成判断操作,因此总体时间复杂度为 \( O(V + E) \),其中 \( V \) 表示顶点数量而 \( E \) 是边的数量。 --- ###
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