HDU6608 Fansblog

最新推荐文章于 2020-11-21 12:50:11 发布

南雨

最新推荐文章于 2020-11-21 12:50:11 发布

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分类专栏：算法

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本文详细解析了HDU6608 Fansblog问题的解题思路，利用威尔逊定理和费马小定理，通过Miller-Rabin素性测试算法确定小于给定素数P的最大素数Q，进而求解Q的阶乘模P的值。源码示例采用C++实现，包括快速幂和素性测试。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

解题思路

P已知，是一个素数， $\le P \le1e14$ 。Q未知，Q满足以下条件：Q是小于P的最大素数。
所以问题分两步解决：先确定Q，然后求Q的阶乘。
如何确定Q呢？只需要判断素数就行了，从P开始，依次递减，直到找到某个数是素数，这个数就是Q了。
接下来就是求 $Q!$ 了，因为Q会很大，所以不能暴力求阶乘，这里利用威尔逊定理：当且仅当P为素数时：( P -1 )! ≡ -1 ( mod P )
$\equiv -1(mod P) \equiv (P-1)(mod P)$
所以有：
$\equiv {1 \over(Q+1) \times(Q+2)...(P-3)\times(P-2)}(mod P)$
$\equiv {1 \over(Q+1) } \times{1 \over(Q+2) }... {1 \over(P-3) } \times{1 \over(P-2) }(mod P)$
接下来结合费马小定理求逆元：
$\equiv (Q+1)^{P-2} \times (Q+2)^{P-2} ... (P-3)^{P-2} \times (P-2)^{P-2}(mod P)$
然后快速幂求就行了，需要注意的是，一次 $\times (Q + 1)$ 就会爆long long，所以可以使用__int128或者快速乘来计算。
源码如下：

#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int count=20;

ll modular_exp(ll a,ll m,ll n)
{
    if(m==0)
        return 1;
    if(m==1)
        return (a%n);
    ll w=modular_exp(a,m/2,n);
    w=(__int128)w*w%n;
    if(m&1)
        w=(__int128)w*a%n;
    return w;
} 

bool Miller_Rabin(ll n)
{
    srand(time(NULL));
    if(n==2)
        return true;
    if (n < 2 || !(n & 1)) 
        return false;
    for(int i=0;i<count;i++)
    {
        int a=rand()%(n-2)+2;
        if(modular_exp(a,n,n)!=a)
            return false;
    }
    return true;
}

ll qpow_long(ll a, ll n, ll m){
    ll res = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)
            res = (__int128)res * a % m;
        n >>= 1;
        a = (__int128)a * a % m;
    }
    return res % m;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--) {
        ll p;
        cin >> p;
        ll ret = 1, q = p-2;
        while(!Miller_Rabin(q)) {
            ret = (__int128)ret * qpow_long(q, p-2, p) % p;
            q--;
        }
        printf("%lld\n", ret);
    }
    
    return 0;
}