【数据结构与算法 | 图篇】Floyd-Warshall算法（多源最短路径算法）

1. 前言

Floyd-Warshall算法是一种在有向图或无向图中寻找所有顶点对之间的最短路径的动态规划算法。该算法可以处理带权重的边，并且能够正确处理负权重的边（但不包括负权重循环），不过它不能处理包含负权重循环的情况，因为这种情况下最短路径是没有定义的。

2. 基本原理

Floyd-Warshall算法的核心思想是逐步扩展中间顶点的集合来计算最短路径。算法通过考虑所有可能的中间顶点来更新每一对顶点之间的最短路径长度。

3. 算法步骤

1. 初始化：

• 创建一个二维数组 `D`，其中 `D[i][j]` 表示从顶点 `i` 到顶点 `j` 的初始距离（如果 `i` 和 `j` 之间没有直接相连，则使用无穷大表示）。
• 对于所有的直接相连的边 `(i, j)`，将 `D[i][j]` 设置为这条边的权重。
• 对于所有的顶点 `i`，将 `D[i][i]` 设置为 0。

2. 迭代：

• 遍历所有可能的顶点 `k` 作为中间顶点。
• 对于每一对顶点 `(i, j)`：检查是否存在一条经过顶点 `k` 的更短路径，即检查 `D[i][k] + D[k][j]` 是否小于 `D[i][j]`。
• 如果是，则更新 `D[i][j]` 为 `D[i][k] + D[k][j]`。

3. 检测负权重循环：
   - 在完成上述迭代之后，如果存在某个顶点 `i` 使得