Floyd-Warshall[弗洛依德]算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法原理

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

3.矩阵计算方法-十字交叉法

1.计算各个节点之间的最短距离，约束图如下：

2.我们先将如图画成表格：

3.再将表格化成矩阵A，再创建一个二维数组Path，用于存放人意一对定点之间的最短路径Path

4.实现流程算法步骤

第一轮：

---

第一轮十字交叉法之后获得的A结果集：

	0	1	2	3
0	0	5	∞	7
1	∞	0	4	2
2	3	3	0	2
3	∞	∞	1	0

第一轮十字交叉法之后获得的path结果集：

	0	1	2	3
0	-1	-1	-1	-1
1	-1	-1	-1	-1
2	-1	-1	-1	-1
3	-1	-1	-1	-1

第二轮：

---

第二轮十字交叉法之后获得的A结果集：

	0	1	2	3
0	0	5	9	7
1	∞	0	4	2
2	3	3	0	2
3	∞	∞	1	0

第二轮十字交叉法之后获得的path结果集：

	0	1	2	3
0	-1	-1	1	-1
1	-1	-1	-1	-1
2	-1	-1	-1	-1
3	-1	-1	-1	-1

第三轮：

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第三轮十字交叉法之后获得的A结果集：

	0	1	2	3
0	0	5	9	7
1	7	0	4	2
2	3	3	0	2
3	4	4	1	0

第三轮十字交叉法之后获得的path结果集：

	0	1	2	3
0	-1	-1	1	-1
1	2	-1	-1	-1
2	-1	-1	-1	-1
3	2	2	-1	-1

第四轮：

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第四轮十字交叉法之后获得的A结果集：

	0	1	2	3
0	0	5	8	7
1	6	0	3	2
2	3	3	0	2
3	4	4	1	0

第四轮十字交叉法之后获得的path结果集：

	0	1	2	3
0	-1	-1	3	-1
1	3	-1	3	-1
2	-1	-1	-1	-1
3	2	2	-1	-1