【2019正睿金华集训】0730总结(容斥原理)

补集思想：

正难则反。
将不太好求的满足条件的方案转化成总方案-不合法的方案

容斥原理 ：

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容斥原理便是补集思想的一部分。

来自度娘的解释：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

也可以这样子描述：
要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

上面的描述可以表示成如下：

它可以写得更简洁一些，我们将B作为所有Ai的集合，那么容斥原理就变成了：

C是B的子集，e是属于C的Ai集合

拓展： minmax容斥

没想到吧，max(S)表示集合S中的最大值,min(S)表示集合S中的最小值

⊆
根据容斥思想有：
max(S)=${\sum }_{T\subseteq S且T!=空集}$$(-1{)}^{|T|-1}$min(T)

然后期望也可以这样子搞一下:
E(max(S))=${\sum }_{T\subseteq S且T!=空集}$$(-1{)}^{|T|-1}$E(min(T))

应用例题:有n张卡牌，每秒有pi的概率抽到卡牌i，求至少得到每个卡牌的期望时间。

假设S集合表示每一个卡牌第一次被抽到的时间，那么max(S)可以理解为所有卡牌都被抽到至少一次的时间，min(S)可以理解为第一次抽到卡牌的时间，那么所求的期望时间便是E(max(S))

根据minmax容斥套路公式有：
$E(max(S))$=${\sum }_{T\subseteq S且T!=空集}$$(-1{)}^{|T|-1}$$E(min(T))$

$E(min(T))$=$\frac{1}{{\sum }_{i\subseteq T}pi}$
【有${\sum }_{i\subseteq T}pi$的概率成功，期望便是倒数】

然后枚举子集累计贡献。

然后大多数题目能用minmax容斥的话基本套路是不变的，主要是如何表示出E(min(T)),这是关键。

心得：容斥原理就是因为反过来更加容易统计，所以考虑反过来的情况。

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get小技巧：容斥原理中的枚举子集，应该怎么样有序，不重不漏的枚举呢？

位运算方法：设集合长度为len，那么我们用一个长为len的二进制数来表示每一个子集，若第i位为1则表示第i个元素被选入子集中。

code

for(int i=1;i<(1<<len);i++)   //若考虑空集i从0开始
  for(int j=0;j<len;j++)
    if(i&(1<<j))  //第j+1个元素被选进子集中
      ....//计算当前子集的贡献
  

每一个i表示一个二进制数，表示一个子集的状态，由于二进制位是从0~len-1，我们j的枚举也是0 ~ len-1

一般来说：枚举子集时，若子集是奇数的就累计答案，偶数的就减。

容斥原理的基础部分应该还好，但是将其题目与组合数学结合起来我真的一头雾水，理解思想是关键，活用公式模板，寻找合适的容斥方案，在结合一些数学知识以及神奇优化…赶紧填坑去！