【机器学习】逻辑回归：原理、应用与实践

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逻辑回归：原理、应用与实践

引言

逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛应用于分类问题的统计学方法，尽管其名称中含有“回归”二字，但它实际上是一种用于解决二分类或多分类问题的线性模型。逻辑回归通过使用逻辑函数（通常为sigmoid函数）将线性模型的输出映射到概率空间，从而预测某个事件发生的概率。本文将深入探讨逻辑回归的理论基础、模型构建、损失函数、优化算法以及实际应用案例，并简要介绍其在机器学习领域的地位和局限性。

1. 逻辑回归基础

1.1 基本概念

逻辑回归主要用于处理因变量为离散型数据的问题，尤其是二分类问题，如判断一个用户是否会购买某产品、一封邮件是否为垃圾邮件等。其核心思想是通过建立输入特征与输出类别之间的逻辑关系模型，来预测输出为某一类别的概率。

1.2 Sigmoid函数

Sigmoid函数是逻辑回归中的关键组件，其表达式为：

$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

该函数将线性组合$$z={\theta }^{T}x$$（其中$ \theta $为模型参数，(x)为输入特征向量）的输出映射到(0, 1)之间，可以解释为事件发生的概率。

2. 模型构建

2.1 线性决策边界

逻辑回归模型的形式化表达为：

P ( Y = 1 ∣