本文概述了二项分布、泊松分布、几何分布、正态分布、指数分布和均匀分布等几种常见的概率分布，介绍了它们的概率质量函数、分布函数、期望和方差的计算公式。
以下是一些常见的概率分布及其相应的概率密度函数、分布函数、期望和方差：
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离散分布：
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二项分布（Binomial Distribution）:
- 概率质量函数（PMF）： P(X=k)=C(n,k)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}P(X=k)=C(n,k)⋅pk⋅(1−p)n−k
- 分布函数（CDF）： F(k)=∑i=0kC(n,i)⋅pi⋅(1−p)n−iF(k) = \sum_{i=0}^{k} C(n, i) \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}F(k)=∑i=0kC(n,i)⋅pi⋅(1−p)n−i
- 期望： E(X)=npE(X) = npE(X)=np
- 方差： Var(X)=np(1−p)Var(X) = np(1-p)Var(X)=np(1−p)
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泊松分布（Poisson Distribution）:
- 概率质量函数：P(X=k)=e−λ⋅λkk!P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}P(X=k)=k!e−λ⋅λk
- 分布函数： F(k)=∑i=0ke−λ⋅λii!F(k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^i}{i!}F(k)=∑i=0ki!e−λ⋅λi
- 期望： E(X)=λE(X) = \lambdaE(X)=λ
- 方差： Var(X)=λVar(X) = \lambdaVar(X)=λ
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几何分布（Geometric Distribution）:
- 概率质量函数： P(X=k)=(1−p)k−1⋅pP(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot pP(X=k)=(1−p)k−1⋅p
- 分布函数： F(k)=1−(1−p)kF(k) = 1 - (1-p)^kF(k)=1−(1−p)k
- 期望： E(X)=1pE(X) = \frac{1}{p}E(X)=p1
- 方差： Var(X)=1−pp2Var(X) = \frac{1-p}{p^2}Var(X)=p21−p
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连续分布：
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正态分布（Normal Distribution）:
- 概率密度函数（PDF）： f(x)=12πσ⋅e−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ1⋅e−2σ2(x−μ)2
- 分布函数（CDF）： F(x)=12[1+erf(x−μσ2)]F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]F(x)=21[1+erf(σ2x−μ)]
- 期望： E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ
- 方差： Var(X)=σ2Var(X) = \sigma^2Var(X)=σ2
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指数分布（Exponential Distribution）:
- 概率密度函数： f(x)=λe−λxf(x) = \lambda e^{-\lambda x}f(x)=λe−λx
- 分布函数： F(x)=1−e−λxF(x) = 1 - e^{-\lambda x}F(x)=1−e−λx
- 期望： E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1
- 方差： Var(X)=1λ2Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}Var(X)=λ21
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均匀分布（Uniform Distribution）:
- 概率密度函数： f(x)=1b−af(x) = \frac{1}{b-a}f(x)=b−a1 for a≤x≤ba \leq x \leq ba≤x≤b
- 分布函数： F(x)=x−ab−aF(x) = \frac{x-a}{b-a}F(x)=b−ax−a for a≤x≤ba \leq x \leq ba≤x≤b
- 期望： E(X)=a+b2E(X) = \frac{a+b}{2}E(X)=2a+b
- 方差： Var(X)=(b−a)212Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}Var(X)=12(b−a)2
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