椭圆曲线密码算法概述

教IT的无语强

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文章标签：网络安全椭圆曲线密码算法网络 MD5

于 2023-02-27 23:49:59 首次发布

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椭圆曲线密码算法（ECC）是一种基于椭圆曲线数学的公钥加密技术，其安全性和效率源于椭圆曲线离散对数问题的难度。ECC的优点包括短密钥长度和小带宽需求。secp256k1椭圆曲线在比特币区块链中被广泛使用。文章还讨论了椭圆曲线的数学基础，如同余式和有限循环群的概念，以及在密码学中的应用。

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椭圆曲线密码算法

椭圆曲线密码算法（Elliptic Curve Cryptography,ECC）是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码算法，其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题的困难性。

椭圆曲线密码算法优点

短的密钥长度，意味着小的带宽和存储要求。

所有的用户可以选择同一基域上的不同的椭圆曲线，可使所有的用户使用同样的操作完成域运算。

椭圆曲线定义

设

下图是显示了其中一种实际的椭圆曲线：

对椭圆曲线上的点，我们可以定义一种形式的加法：如果椭圆曲线上的三个点位于同一直线上，那么它们的和为

根据上面的定义导出椭圆曲线上的加法运算法则如下：当

当

下面的动画解释了为什么是切线：

随着两个点越来越接近，过这两点的直线最终变成了曲线的切线

上面用几何的形式解释了椭圆曲线上的加法法则，下面是数学表达式。设

椭圆曲线上点群的离散对数问题

给定椭圆曲线上的点

和点

，寻找数

，使得

，其中

称为

的基于

的离散对数" style="margin: auto" />

在等式

中，已知

和点

，求点

比较容易，反之已知点

和点

，求

却是相当苦难的，这个问题称为椭圆曲线上点群的离散对数问题。椭圆曲线密码体制正是利用这个困难问题设计的。在实际应用中，

作为私钥，而

作为公钥" style="margin: auto" />

如何计算

用这种形式表示时，计算

(取

“加倍（double)与相加（add)”算法需要这样做: • 取

. • 加倍，得到

. •

与

相加(为了得到

). • 加倍

，得到

. • 与前一结果相加 (得到

). • 加倍

，得到

. • 对

不做任何操作. • 加倍

，得到

. • 与前一结果相加 (得到

). • … 最后，我们可以计算

，只需7次“加倍”运算和4次“相加”运算" style="margin: auto" />

secp256k1椭圆曲线

在比特币区块链实现中使用的椭圆曲线为secp256k1。所以这里需要学习一下。 secp256k1曲线形如

= 2^256 - 2^32 - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 - 2^4 - 1]

G的阶：

This is a graph of secp256k1's elliptic curve

over the real numbers. Note that because secp256k1 is actually defined over the field

, its graph will in reality look like random scattered points, not anything like this.

椭圆曲线参数六元组解释：我们的椭圆曲线算法是工作在循环子群上的。几个参数含义如下：
（1）素数

，这个值定义了有限域的大小 > （2）椭圆曲线的系数

、

> （3）基点

（子群的生成元）> （4）子群的阶

> （5）协因子

(

" style="margin: auto" />

补充数学概念

这里所用到的密码学其数学基础主要是《数论》、《代数》。如果想要弄清其原理，这两部分数学基础是需要研读的。

同余式

数学上，同余（congruence modulo，符号：≡）是数论中的一种等价关系。当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。同余是抽象代数中的同余关系的原型。

两个整数

若它们除以正整数

所得到的余数相等，则称

对于模

同余，记作

。读作

与

关于模

同余。（例

)。

密码学与有限循环群

现代密码学算法和协议中，消息是作为有限空间中的数字或元素来处理的。加密和解密的各种操作必须在消息之间进行变换，以使变换服从有限消息空间内部的封闭性。然而，数的一般运算诸如加减乘除并不满足有限空间内部的封闭性。所以密码算法通常运行于具有某些保持封闭性的代数结构的空间中，这种代数结构就是有限循环群。在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算组成。群必须满足以下四个条件：封闭性，结合律，存在单位元和存在逆元。