数论质因子分解+最大独立集合

最新推荐文章于 2024-01-21 20:14:41 发布

桃社长

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分类专栏： # 二分图·匈牙利（题） [数论、题]

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43824791/article/details/99699736

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二分图·匈牙利（题）

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这篇博客探讨了如何利用数论中的质因子分解方法来构建二分图，并解决最大独立集合问题。通过质因子乘积的数量，可以划分二分图，进而转化成求最小点覆盖或最大匹配的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

该题是求二分图，最大独立集。
最大独立集合 == 节点数 — 最小点覆盖(最小点覆盖== 最大匹配)。

所以就要构造出二分图：

通过某个数的质因子乘积个数划分二分图。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 500010;
const int MAXN = 40010;
int arr[MAXN];//原数组
int id[maxn];// id数组， id为0表示该数不存在
int n;
vector<int>G[MAXN];// 存图

void input();
void ID();
void process();


int link[MAXN];//连接数组， y 与link[y]相连
bool mark[MAXN];//标记数组   标记y是否可以连接

int dfs(int x)
{
    for(int i = 0; i < (int)G[x].size(); i++)
    {
        int y = G[x][i];
        if(mark[y] == 0)
        {
            mark[y] = 1;

            if(!link[y]||dfs(link[y]))
            {
                link[y] = x;
                return 1;
            }


        }

    }

    return 0;
}

int hunger()
{
    int ret = 0;
    memset(link, 0, sizeof(link));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        ret+=dfs(i);
    }

    return ret;
}
void init()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        G[i].clear();
    }
    memset(id, 0,sizeof(id));
}

int factor[1000];




int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    int cnt2 = 0;
    while(T--)
    {

        input();
        init();//初始化
        ID();//id
        printf("Case %d: ", ++cnt2);
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int cnt = 0, sum = 0;//质因子的个数， 和质因子总数

            int x = arr[i];
            for(int j = 2; x>1&&j <= sqrt(x); j++)
            {
                if(x%j == 0)
                {
                    factor[cnt++] = j;
                    while(x%j == 0)
                    {
                        x/=j;
                        sum++;
                    }
                }
            }

            if(x >1)
            {

                factor[cnt++] = x;
                sum++;
            }
            for(int j = 0; j < cnt; j++)
            {
                int k = factor[j];
                int id2 = id[arr[i]/k];

                if(id2 == 0)continue;

                //通过 质因子乘积个数 划分 二分图， 奇数为x  有数为y
                if(sum&1)
                {
                    G[i].push_back(id2);
                }
                else
                {
                    G[id2].push_back(i);
                }

            }


        }
        ans = hunger();//二分图匹配
        printf("%d\n",n- ans);


    }

    return 0;
}








void ID()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        id[arr[i]] = i;
    }
}

void input()// 输入函数
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }

}