《代码随想录第六十二天》——prim算法、kruskal算法

《代码随想录第六十二天》——prim算法、kruskal算法

本篇文章的所有内容仅基于C++撰写。

1. prim算法

1.1 题目

prim算法
题目描述：
在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。
不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将所有岛屿联通起来。
给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。

输入描述：
第一行包含两个整数V和E，V代表顶点数，E代表边数。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。
接下来共有E行，每行三个整数v1，v2和val，v1和v2为边的起点和终点，val代表边的权值。

输出描述：
输出联通所有岛屿的最小路径总距离

输入示例：
7 11
1 2 1
1 3 1
1 5 2
2 6 1
2 4 2
2 3 2
3 4 1
4 5 1
5 6 2
5 7 1
6 7 1
输出示例：
6

1.2 分析

本题是最小生成树的模板题。最小生成树有两种算法：prim算法和kruskal算法。最小生成树是所有节点的最小连通子图，即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。图中有n个节点，那么一定可以用n-1条边将所有节点连接到一起，如何选择这n-1条边就是最小生成树算法的任务所在。本题还需要利用贪心算法的思想，每次加入边权值最小的节点，以达到整张图所有边的总权值最小的目的。
prim算法三部曲：

• 第一步，选距离生成树最近节点
• 第二步，最近节点加入生成树
• 第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
  其中我们需要用到一个minDist数组，这个数组用来记录和更新最小生成树节点的最近距离。

详细的算法思路见链接： prim三部曲步骤

核心代码分析：

1. 选距离生成树最近节点
   选择未在生成树中且minDist值最小的节点（minDist值将在第三步更新）。

// 第一步：选距离生成树最近节点
        int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树
        int minVal = INT_MAX;
        for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始
            //  选取最小生成树节点的条件：
            //  （1）不在最小生成树里
            //  （2）距离最小生成树最近的节点
            if (!isInTree[j] &&  minDist[j] < minVal) {
                minVal = minDist[j];
                cur = j;
            }
        }

2. 最近节点加入生成树

 // 第二步：最近节点（cur）加入生成树
        isInTree[cur] = true;

3. 更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
   这一步要更新所有与当前节点相连的节点的边的权值，用于在新一轮遍历中找到距离最小生成树最近的节点。

// 第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
        // cur节点加入之后， 最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到 最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下
        // 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢
        for (int j = 1; j <= v; j++) {
            // 更新的条件：
            // （1）节点是 非生成树里的节点
            // （2）与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小
            // 很多录友看到自己 就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点，那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入，需要更新一下数据了
            if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
                minDist[j] = grid[cur][j];
            }
        }
    }

1.3 代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>

using namespace std;
int main() {
    int v, e;
    int x, y, k;
    cin >> v >> e;
    // 填一个默认最大值，题目描述val最大为10000
    vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001));
    while (e--) {
        cin >> x >> y >> k;
        // 因为是双向图，所以两个方向都要填上
        grid[x][y] = k;
        grid[y][x] = k;

    }
    // 所有节点到最小生成树的最小距离
    vector<int> minDist(v + 1, 10001);

    // 这个节点是否在树里
    vector<bool> isInTree(v + 1, false);

    // 我们只需要循环 n-1次，建立 n - 1条边，就可以把n个节点的图连在一起
    for (int i = 1; i < v; i++) {

        // 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
        int cur = -1; // 选中哪个节点 加入最小生成树
        int minVal = INT_MAX;
        for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始
            //  选取最小生成树节点的条件：
            //  （1）不在最小生成树里
            //  （2）距离最小生成树最近的节点
            if (!isInTree[j] &&  minDist[j] < minVal) {
                minVal = minDist[j];
                cur = j;
            }
        }
        // 2、prim三部曲，第二步：最近节点（cur）加入生成树
        isInTree[cur] = true;

        // 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
        // cur节点加入之后， 最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到 最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下
        // 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的 非生成树节点 的距离 是否比 原来 非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢
        for (int j = 1; j <= v; j++) {
            // 更新的条件：
            // （1）节点是 非生成树里的节点
            // （2）与cur相连的某节点的权值 比 该某节点距离最小生成树的距离小
            // 很多录友看到自己 就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入 最小生成树的节点，那么 所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离 由于 cur的新加入，需要更新一下数据了
            if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
                minDist[j] = grid[cur][j];
            }
        }
    }
    // 统计结果
    int result = 0;
    for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点，因为统计的是边的权值，v个节点有 v-1条边
        result += minDist[i];
    }
    cout << result << endl;

}

• 时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数量。

2. kruskal算法

2.1 题目

题目链接及描述同上一题。

2.2 分析

prim算法以节点为中心生成树，而kruskal算法以边为中心生成树。kruskal算法的特点在于运用了并查集的技巧，并且时间复杂度更低一些。
kruscal的思路：

1. 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
2. 遍历排序后的边：

• 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
• 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合

具体步骤讲解见链接：Kruskal算法步骤

可以看出仍然是贪心思想，每次加入最小的边，以保证所有边的总权值最小。因为边已经被预先排序，所以后面重复的边（将本来就在同一集合的两个节点再次连接的边）不仅权值更大，还会造成环，所以完全不用考虑加入，直接使用isSame函数排除即可。因为我们有了并查集的理论基础，所以这题理解上不会有太大难度。
Kruskal 和 prim 的解法选择？边少节点多（稀疏图）用Kruskal，边多节点少（稠密图）用prim。

• Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。
• Kruskal算法 时间复杂度 为 nlogn，其中n 为边的数量，适用稀疏图。

2.3 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// l,r为 边两边的节点，val为边的数值
struct Edge {
    int l, r, val;
};

// 节点数量
int n = 10001;
// 并查集标记节点关系的数组
vector<int> parent(n, -1); // 节点编号是从1开始的，n要大一些

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        parent[i] = i;
    }
}

// 并查集的查找操作
int find(int u) {
    return u == parent[u] ? u : parent[u] = find(parent[u]); // 路径压缩
}

// 判断 u 和 v是否找到同一个根
bool isSame(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    return u == v;
}

// 并查集的加入集合
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    parent[v] = u;
}

int main() {

    int v, e;
    int v1, v2, val;
    vector<Edge> edges;
    int result_val = 0;
    cin >> v >> e;
    while (e--) {
        cin >> v1 >> v2 >> val;
        edges.push_back({v1, v2, val});
    }

    // 执行Kruskal算法
    // 按边的权值对边进行从小到大排序
    sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
            return a.val < b.val;
    });

    // 并查集初始化
    init();

    // 从头开始遍历边
    for (Edge edge : edges) {
        // 如果祖先不同，则不在同一个集合
        if (!isSame(edge.l, edge.r)) {
            result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
            join(edge.l, edge.r); // 两个节点加入到同一个集合
        }
    }
    /*// 如有需要，打印最小生成树的边
    for (Edge edge : result) {
        cout << edge.l << " - " << edge.r << " : " << edge.val << endl;
    }*/

    cout << result_val << endl;
    return 0;
}

• 时间复杂度：nlogn （快排） + logn （并查集） ，所以最后依然是 nlogn 。n为边的数量。