逆元

由于C++储存数据的范围是有限的，当数据超出储存范围时计算就会出错，为了避免错误，一般使用求余的方法。
(a+b)%c可以表示为(a%c+b%c)%c，乘法同理
减法也可以表示为(a+c-b)%c。
但是除法怎么办呢？
想一下除法计算过程：a/b=a* 1/b
那么自然会想到，把(a/b)%c变成(a*(1/b))不就可以了吗。
但是现实是残酷的，取余是建立在除数和被除数都算整数的基础上的，浮点数无法进行取余计算。那么我们可不可以在1～c-1中找到一个数x使得(a/b)%c==(a* x)%c 呢？即b* x=1(%c);
答案是肯定的！
这个x就叫做b的逆元，或者叫做数论倒数(和正常意义上的倒数不一样，但和正常意义上的倒数具有相同的作用)。
有逆元的充要条件
a在mod c意义下有逆元的充要条件：GCD(a,c)=1
那么逆元要怎么求呢？

1. EXGCD
   求a在mod c意义下的逆元，可以转化为求 ax+cy=1 ；
   就可以用EXGCD求逆元了。

void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    
    if(!b){x=1;y=0;return;}    
    ex_gcd(b,a%b,y,x);    
    y-=a/b*x;    
}  

2. 费马小定理
   如果p为质数，则a^(p−1)≡1%p
   ∴a⋅a^(p−2)≡1%p
   快速幂求a^(p-2)就可以啦。

int q_pow(int a,int n,int m) {    
    int ans = 1;    
    while(n) {    
        if (n&1) {    
            ans = ans*a%m;    
        }     
        a = a*a%m;   
        n >>= 1;    
    }    
    return ans;    
}   

3. 欧拉定理
   将费马小定理中的p−2换为φ( p )−1即可
   p可以不是质数

4. 递推
   用于O(n)预处理[1⋯n]的逆元
   构造p=k* i+r
   ∴k* i+r≡0%p
   ∴k* i=−r
   ∴i−1=−k *r−1
   其中k=⌊pi⌋,r=p%i
   ∴i−1=−⌊pi⌋⋅inv[p%i]
   为了防止出现负数，通常的写法是这样的

inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/Gh0stCai/article/details/79968462 https://blog.youkuaiyun.com/Adusts/article/details/80627966