逆元的求解（两种方法）

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本文介绍了如何使用拓展欧几里得算法和费马小定理求解模运算逆元，并提供了C++代码实现。当模数为素数时，利用费马小定理可以通过快速幂高效计算逆元。同时，代码中包含了素数判断、拓展欧几里得算法和快速幂函数的实现。

逆元的求解

使用拓展欧几里得算法求解，使用条件是 $g c d (a, m) = 1$ 。

int inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int g = exGcd(a, m, x, y); //求解ax+my=1;
    return (x % m + m) % m; // a模m的逆元为(x%m+m)%m
}

若 $m$ 是素数，且 $a$ 不是 $m$ 的倍数，则可以使用费马小定理求解逆元。

费马小定理

设 $m$ 是素数， $a$ 是任意整数且 $m)a≢0(mod\;m)$ ，则 $a^{m-1}≡1(mod\; m)$ 。

由 $a^{m-1}≡1(mod\; m)$ 知 $a*a^{m-2}≡1(mod\; m)$ ，由逆元定义知 $a^{m-2}\%m$ 就是 $a$ 模 $m$ 的逆元，通过快速幂来求解。

#include <cstdio>
#include <cmath>

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) { //x和y的引用
    if (b == 0) { //b为0时，a为gcd，则a*1+b*0=gcd
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int g = exGcd(b, a % b, x, y); //递归计算exGcd(b,a%b)
    int temp = x; //存放x的值
    x = y; //更新x=y(old)
    y = temp - a / b * y;
    return g; //g是gcd
}

int inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int g = exGcd(a, m, x, y); //求解ax+my=1;
    return (x % m + m) % m; // a模m的逆元为(x%m+m)%m
}

typedef long long LL;
//求a^b%m，递归写法
//若初始时a大于m，则在进入函数前先让a对m取模
LL BinaryPow(LL a, LL b, LL m) {
    if (b == 0) return 1;
    // b为奇数，转换为b-1
    if (b % 2 == 1) { //可用if (b & 1)替代
        return a * BinaryPow(a, b - 1, m) % m;
    } else { // b为偶数，转换为b/2
        LL mul = BinaryPow(a, b / 2, m);
        return mul * mul % m;
    }
}

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    int sqr = (int)sqrt(1.0 * n);
    //如果n没有接近int型变量的范围上界，可以写i*i<=n
    for (int i = 2; i <= sqr; i++) { //遍历2~根号n
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int a, m, b;
    scanf("%d %d", &a, &m);
    if (isPrime(m) && a % m != 0) { //使用费马小定理
        a %= m;
        b = (int)BinaryPow((LL)a, (LL)(m - 2), (LL)m);
    } else {
        b = inverse(a, m);
    }
    printf("逆元b=%d", b);
    return 0;
}