HDU6567 - Cotree

最新推荐文章于 2021-04-07 22:10:13 发布

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本题要求在两棵树间添加一条边以最小化所有节点间的距离总和。通过寻找树的重心来确定最优连接点，并使用DFS遍历求解最终的最小距离和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Cotree

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Problem Description

Avin has two trees which are not connected. He asks you to add an edge between them to make them connected while minimizing the function $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}dis(i,j)$ , where $d i s (i, j)$ represents the number of edges of the path from i to j . He is happy with only the function value.

Input

The first line contains a number n (2<=n<=100000). In each of the following n−2 lines, there are two numbers u and v, meaning that there is an edge between u and v. The input is guaranteed to contain exactly two trees.

Output

Just print the minimum function value.

Sample Input

3
1 2

Sample Output

Tips

题意：

给定一个具有 $n$ 个结点、 $n - 2$ 条边的图，保证其连通分量为 $2$ 。现在请你添加一条边，使图连通，求连通图上任意两个结点的距离之和的最小值。

题解：

举几个例子就会发现，我们应该选择两棵树的树根将它们相连，且这两个树根使得这两棵树尽可能地“平衡”。事实上，这样的根节点叫做树的重心。其形式化的定义为：

以某结点为根节点的一棵或几棵子树中，结点个数的最大值称为该结点的 $\text{balance}$ ，重心的 $\text{balance}$ 是所有结点中最小的那个。

要找到树的重心，只需一遍 $\text{dfs}$ ，统计出每个结点的子树分别含有多少结点，得到 $\text{balance}$ ，选出 $\text{balance}$ 最小的那个结点即可。找出两个重心以后，我们将它们相连，这就完成了这一题的第一部分（当然，在对树进行操作之前，还需要用并查集取出两个分别位于两棵树的结点）。

而本题的剩余部分，在于如何求解一棵树上任意两个结点的距离之和。区别于暴力，较优的解法为，考虑每条边被经过的次数，最后的答案即为次数乘以边权（本题为 $1$ ）的和。一条边被经过的次数，等于由它连接的两部分的结点的个数之积。而结点个数的求解方法和上述 $\text{dfs}$ 函数一致。

因此，总结一下本题的解决过程就是：首先用并查集找出分别位于两棵树中的两个结点，然后对这两个结点分别进行 $\text{dfs}$ ，找出两棵树的重心，将重心连接，再 $\text{dfs}$ 一遍，最后计算出答案并输出即可。

Reference Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::max;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e5+10;
const int MAXM=2e5+10;
int fa[MAXN],hi[MAXN];
int cnt[MAXN];
int Find(int v){
    return (fa[v]==v)?(v):(fa[v]=Find(fa[v]));
}
inline void Union(int a,int b){
    int r1=Find(a),r2=Find(b);
    if (r1==r2) return;
    if (hi[r1]<hi[r2]){
        fa[r1]=r2;
        cnt[r2]+=cnt[r1];
    }
    else if (hi[r1]>hi[r2]){
        fa[r2]=r1;
        cnt[r1]+=cnt[r2];
    }
    else{
        fa[r1]=r2;
        cnt[r2]+=cnt[r1];
        ++hi[r2];
    }
}
struct Edge{
    int to,next;
}edge[MAXM];
int tot,head[MAXN];
inline void init(){
    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for (int i=0;i<MAXN;++i){
        fa[i]=i;
        cnt[i]=1;
    }
}
inline void add_edge(int u,int v){
    edge[tot]=(Edge){v,head[u]};
    head[u]=tot++;
    edge[tot]=(Edge){u,head[v]};
    head[v]=tot++;
}
int dp[MAXN];
int balance,root;
void dfs(int u,int pre,int n){
    dp[u]=1;
    int balan=0;
    for (int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if (v==pre) continue;
        dfs(v,u,n);
        dp[u]+=dp[v];
        balan=max(balan,dp[v]);
    }
    balan=max(balan,n-dp[u]);
    if (balan<balance){
        balance=balan;
        root=u;
    }
}
int set_root(int rt,int n){
    balance=INF;
    dfs(rt,-1,n);
    return root;
}
int n;
int u,v;
int r1,n1,r2,n2;
int main(){
    init();
    scanf("%d",&n);
    for (int i=2;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        Union(u,v);
        add_edge(u,v);
    }
    r1=Find(1);
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (Find(i)!=r1)
            r2=Find(i);
    }
    n1=cnt[r1];
    n2=n-cnt[r1];
    r1=set_root(r1,n1);
    r2=set_root(r2,n2);
    add_edge(r1,r2);
    dfs(r1,-1,n1);
    ll res=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        res+=(ll)dp[i]*(n-dp[i]);
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}