按位或

题目
https://www.luogu.com.cn/problem/P3175

刚开始你有一个数字$0$，每次给这个数按一定概率$or$上一个$\le 2^n-1$的非负整数，第$i$个数的概率为$p_i$，保证和为$1$问，这个数字到$2^n-1$的期望$or$次数。$n\le 20$

思路
把数字看成集合，用$min-max$反演
$$E(max(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}E(min(T))$$
每次选取的集合不和$T$有交集的概率为$P_T$
$$\begin{array}{rl}{P}_T& =\sum _{Q\cap T=\varnothing }{p}_Q\\ & =\sum _{Q\subseteq {\complement }_{U}T}{p}_Q\end{array}$$
这是一个子集和的形式，用$FMT$
$$\begin{array}{rl}E(min(T))& =\sum _{i=0}^{+\infty }{P}_T^i(1-P_T)(i+1)\\ & =\frac{1}{1-P_T}\end{array}$$
$E(min(T=\varnothing ))=0$不用考虑，如果$1-P_T=0$，则说明无解。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=22;
const double eps=1e-7;
int n,tot;
double a[1<<N],ans=0;
int ct(int x){
    return __builtin_popcount(x);
}
void FMT(double *a,int n,int flag) {
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<(1<<n); j++)
            if(j>>i&1)
                a[j]=a[j]+flag*a[j^(1<<i)];
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    tot=1<<n;
    for(int i=0; i<tot; i++)
        scanf("%lf",&a[i]);
    FMT(a,n,1);
    for(int i=1;i<tot;i++){//空集不用管
        if(1-a[(tot-1)^i]<eps){
            printf("INF");
            return 0;
        }
        ans+=1.0/(1-a[(tot-1)^i])*(ct(i)&1?1:-1);
    }
    printf("%.8f",ans);
    return 0;
}