LeetCode刷题复盘笔记—一文搞懂动态规划之338. 比特位计数(剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数)问题（动态规划系列第三十七篇）-优快云博客

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今日主要总结一下动态规划的一道题目，338. 比特位计数（剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数）

今天是2022年最后一天，祝大家新年快乐！

题目：338. 比特位计数(剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数)

Leetcode题目地址
题目描述：
给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。
在这里插入图片描述

本题重难点

动规五部曲如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：前 i 个数字二进制中 1 的个数，最终所求即为dp数组
确定递推公式
对于所有的数字，只有奇数和偶数两种：
奇数：二进制表示中，奇数一定比前面那个偶数多一个 1，因为多的就是最低位的 1。
偶数：二进制表示中，偶数中 1 的个数一定和除以 2 之后的那个数一样多。因为最低位是 0，除以 2 就是右移一位，也就是把那个 0 抹掉而已，所以 1 的个数是不变的。
所以我们可以得到如下的状态转移方程：
dp[i] = dp[i-1] + 1，当i为奇数
dp[i] = dp[i/2]，当i为偶数
dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0] = 0;
确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]/dp[i / 2]的状态，需要从前向后遍历。
当有问题时打印dp数组

方法一、动态规划未优化解法

C++代码

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int>dp(n + 1, 0);
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(i % 2 == 0) dp[i] = dp[i >> 1];
            if(i % 2 == 1) dp[i] = dp[i - 1] + 1;
        }
        return dp;
    }
};

方法二、动态规划优化解法

状态转移方程：

dp[i] = dp[i-1]，当i为奇数
dp[i] = dp[i/2]，当i为偶数

上面的方程还可进一步合并为：

dp[i] = dp[i/2] + i % 2

通过位运算进一步优化：

i / 2 可以通过 i >> 1 得到；
i % 2 可以通过 i & 1 得到；

C++代码

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int>dp(n + 1, 0);
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i >> 1] + (i & 1);
        }
        return dp;
    }
};

总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

这篇文章主要总结了分别使用动态规划和贪心算法两种方法解决了剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数问题，动态规划中依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目，并且给出了使用位运算优化的代码！