Acwing算法基础课第一章基础算法（2）课堂笔记

最新推荐文章于 2023-02-04 23:27:28 发布
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分类专栏： Acwing课堂笔记 文章标签： 算法 c++
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版权

第一章 基础算法（二）

一、高精度

A + B 长度在10^6左右

A - B 长度在10^6左右

A * b A的长度 <= 10^6 b的大小 <= 10^9

A / b 求商和余数

1、存储

将大整数的每一位存入数组，数组的0下标存大整数的个位（运算时可能需要进位，数组在末尾补上一个数较为容易）。

2、运算

1) A + B

在这里插入图片描述

模板
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

// C = A + B
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i<A.size()||i<B.size();i++)
    {
        if(i < A.size())  t += A[i];
        if(i < B.size())  t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if(t) C.push_back(1);
    return C;
}


int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    cin >> a >> b; //a = 123456
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
        A.push_back(a[i] - '0');   // A = [6,5,4,3,2,1]
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--)
        B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto C = add(A, B);

    for(int i = C.size() - 1;i>=0;i--)
    {
        printf("%d",C[i]);
    }
    return 0;
}
2) A - B

在这里插入图片描述

模板
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

// 判断是否有A >= B
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() != B.size())
        return A.size() > B.size();
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
        if (A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
    return true;
}

// C = A - B
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size())
            t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10); // 将t>=0和 t<0的情况合在一起写  t>=0时，直接返回t  t<0时，t需要+10
        if (t < 0)
            t = 1;  // 需要借位
        else
            t = 0;
    }
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)
        C.pop_back();   // 去掉前导0
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    cin >> a >> b; //a = 123456
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
        A.push_back(a[i] - '0'); // A = [6,5,4,3,2,1]
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--)
        B.push_back(b[i] - '0');

    if (cmp(A, B))
    {
        auto C = sub(A, B);
        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)
        {
            printf("%d", C[i]);
        }
    }
    else
    {
        auto C = sub(B, A);
        printf("-");
        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)
        {
            printf("%d", C[i]);
        }
    }

    return 0;
}
3) A * b

在这里插入图片描述

模板
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

// C = A * b
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0; // 进位
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i++)
    {
        if (i < A.size())
            t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)
        C.pop_back();   // 去掉前导0
    return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;

    cin >> a >> b;
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
        A.push_back(a[i] - '0');

    auto C = mul(A, b);

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)
        printf("%d", C[i]);
    return 0;
}
4) A / b

在这里插入图片描述

模板
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// A / b  商是C，余数是r
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)
        C.pop_back();
    return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;

    cin >> a >> b;
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
        A.push_back(a[i] - '0');

    int r;
    auto C = div(A, b, r);

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)
        printf("%d", C[i]);
    cout << endl << r << endl;
    return 0;
}

二、前缀和与差分

原式： a[1], a[2], a[3], …… a[n]

前缀和： S[i] = a[1] + a[2] + …… + a[i] S[0] = 0

时间复杂度：预处理O(n)，查询O(1)

引入

在这里插入图片描述

1、如何求Si
for(int i = 1;i<=n;i++)
    S[i] = S[i - 1] + ai;
2、作用

例如求[l, r ]这一区间的和

[l, r] = S[r] - S[l - 1]

前缀和模板

原题链接：Acwing 795.前缀和

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i];  // 前缀和的初始化
    while (m--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n",s[r] - s[l-1]);
    }
    return 0;
}

二维矩阵

在这里插入图片描述

模板

原题链接：Acwing 796.子矩阵的和

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2] - s[x2][y2-1] + s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

差分（前缀和的逆运算）

a[1], a[2], ……, a[n]

构造 b[1], b[2], ……, b[n]

使得 a[i] = b[1] + b[2] + …… + b[i]

b就称为a的差分，a称为b的前缀和

在这里插入图片描述

b[l] + c之后，由于a[l]以及a[l + 1] ……a[n]计算时都需要加b[l]，所以l点之后的所有a数组的值都加上了一个c，同理b[r + 1] + c之后，a[r + 1]及a[r + 2] ……等a数组的值都减去一个c，所以两步操作之后，a[l]~a[r]都加上了一个c

模板

原题链接：Acwing 797.差分

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n,m;
int a[N], b[N] = {0};

void insert(int l,int r, int c)
{
    b[l] +=c;
    b[r+1] -= c;
}


int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1;i<=n;i++) insert(i,i,a[i]);    // 按照差分思想初始化b数组     b[1] = a[1]   b[2] = a[2] - a[1]   a[2] = b[2] + a[1] = b[2] + b[1]

    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        b[i] += b[i-1];
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

二维差分

在这里插入图片描述

模板

原题链接：Acwing 798.差分矩阵

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin >> x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = 1;j<=m;j++)
            b[i][j] += b[i-1][j]+b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
    
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}
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