【数据结构】图结构

 

图的相关概念

• 顶点：顶点集非空；
• 边：边集可空；有向边 <i , j>、无向边 (i , j)
• 图：简单图、无向完全图、有向完全图、子图、稀疏图、网
• 连通图和强连通图：连通子图和强连通子图、连通分量和强连通分量
• 生成树和生成森林
• 简单路径和简单回路

图的存储结构

• 邻接矩阵：存储稀疏图时往往会造成大量空间浪费

#define MAXV 100
#define INF 32767
typedef struct 
{	int no;  //顶点编号
	InfoType info;  //顶点其他信息
}VertexType;
typedef struct
{	int edges[MAXV][MAXV];  //邻接矩阵数组
	int n, e;  //顶点数、边数
	VertexType vexs[MAXV];  //存放顶点信息
}MatGraph;

• 邻接表：当存储有向图时，找出度容易，找入度难；逆邻接表找入度容易，找出度难

typedef struct ANode
{	int adjvex;  //该边的邻接点编号
	struct ANode *nextarc;  //指向下一条边的指针
	int weight;  //边的权值
}ArcNode;
typedef struct Vnode
{	InfoType info;  //顶点的其他信息
	ArcNode *firstarc;  //指向第一个边结点
}VNode;
typedef struct
{	VNode adjlist[MAXV];  //邻接表的头结点数组
	int n, e;  //图的顶点数、边数
}AdjGraph;

• 十字链表：当存储有向图时，邻接表和逆邻接表的结合，出度和入度皆可存储
• 邻接多重表：当关注对无向图的边操作时，此存储结构优异
• 边集数组：只适合对边的操作，不适合对顶点的操作

图的遍历

• 深度优先遍历（DFS）：类似树的前序遍历；使用递归执行操作，visited数组必须置为全局变量，时间复杂度大
• 广度优先遍历（BFS）：类似树的层序遍历；使用队列执行操作，visited数组不必全局，空间复杂度大

构造最小生成树（关于有环无向图）

• Prim算法：以顶点为目标来构造
• Kruskal算法：以边为目标来构造

应用场景：在多个城市间建造高速公路使得造价最小、其他规划问题

求解最短路径问题（关于有环无向图）

• Dijkstra算法：针对单源最短路径的求解，即从某个顶点到其他每个顶点的最短路径
• Floyed算法：针对所有顶点间的最短路径求解

应用场景：求解迷宫问题、博弈问题

拓扑排序（关于无环有向图）

• 主要针对于AOV网（顶点表示活动）；拓扑序列用于判断某个AOV网中是否存在环
• 拓扑排序算法：依次找入度为0的点，输出并删除与其相连的所有边；最终输出拓扑序列

应用场景：判断AOV网中是否存在环（无环的AOV网非常有实用价值，确保了某工程可以顺序进行）

求解关键路径问题（关于无环有向图）

• 主要针对于AOE网（边表示活动，顶点表示事件）
• ve(j) ：顶点 j 的最早开始时间，即事件；从前往后算，无入度的顶点ve=0，其他顶点 ve(x) = Max(ve(x-1) + w)
• vl(k) ：顶点 k 的最晚开始时间；从后往前算，无出度的顶点vl=ve，其他顶点 vl(x) = Min(vl(x+1) - w)
• e(i)：边 i 的最早开始时间，即活动；e(i) = ve(j)
• l(i)：边 i 的最晚开始时间；l(i) = vl(k) - w
• l(i) - e(i)：活动的时间余量，余量为0则说明该活动为关键活动

应用场景：计算某工程所需的最短时间