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最新推荐文章于 2022-02-07 19:41:27 发布

xzl991215

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43364008/article/details/88613903

这是一道关于计算奶牛编号的数学问题。当奶牛编号按照特定规律递增时，需要找出第n头奶牛的编号。利用矩阵快速幂的方法解决大数运算，并对结果取模123456789。题目提供了样例输入和输出，并给出了矩阵快速幂的解题思路链接。

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Problem Description

Farmer John有n头奶牛.某天奶牛想要数一数有多少头奶牛,以一种特殊的方式:第一头奶牛为1号,第二头奶牛为2号,第三头奶牛之后,假如当前奶牛是第n头,那么他的编号就是2倍的第n-2头奶牛的编号加上第n-1头奶牛的编号再加上自己当前的n的三次方为自己的编号.现在Farmer John想知道,第n头奶牛的编号是多少,估计答案会很大,你只要输出答案对于123456789取模.

Input

第一行输入一个T,表示有T组样例
接下来T行,每行有一个正整数n,表示有n头奶牛 (n>=3)
其中，T=10^4,n<=10^18

Output

共T行,每行一个正整数表示所求的答案

Sample Input

Sample Output

700

7486

64651

527023

矩阵快速幂

加速矩阵见代码

板子见ZSC大佬的链接附上https://blog.youkuaiyun.com/ZscDst/article/details/79952242

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MOD = 123456789;
typedef long long LL;
struct Matrix
{
    int r, c;
    LL m[10][10];
    Matrix () {};
    Matrix (int r, int c)
    {
        this->r = r; this->c = c;
        memset(m, 0, sizeof(m));
    }
 
    Matrix operator + (Matrix b) const // a和b均为r * c的矩阵
    {
        Matrix ans(r, c);
        for (int i = 0; i < r; i++)
        {
            for (int j = 0; j < c; j++)
            {
                ans.m[i][j] = (m[i][j] + b.m[i][j]) % MOD;
            }
        }
        return ans;
    }
 
    Matrix operator * (Matrix b) const // 要求a.c == b.r
    {
        Matrix ans(r, b.c);
        for (int i = 0; i < ans.r; i++)
        {
            for (int j = 0; j < ans.c; j++)
            {
                for (int k = 0; k < c; k++)
                {
                    ans.m[i][j] += m[i][k] * b.m[k][j] % MOD;
                    ans.m[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
 
};
Matrix qpow(Matrix a, LL b) // a必须是方阵(即r==c)
{
    Matrix res(a.r, a.c);
    for (int i = 0; i < res.r; i++) res.m[i][i] = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
 
int main()
{
    int T ;
    cin >> T ;
    while (T--)
    {
    	LL n ;
    	cin >> n ; 
        Matrix B(6, 6), A(6, 1);
 		 
        B.m[0][0] = 1; B.m[0][1] = 2;B.m[0][2] = 1; B.m[0][3] = 0;B.m[0][4] = 0; B.m[0][5] = 0;
        B.m[1][0] = 1; B.m[1][1] = 0;B.m[1][2] = 0; B.m[1][3] = 0;B.m[1][4] = 0; B.m[1][5] = 0;
        B.m[2][0] = 0; B.m[2][1] = 0;B.m[2][2] = 1; B.m[2][3] = 3;B.m[2][4] = 3; B.m[2][5] = 1;
        B.m[3][0] = 0; B.m[3][1] = 0;B.m[3][2] = 0; B.m[3][3] = 1;B.m[3][4] = 2; B.m[3][5] = 1;
        B.m[4][0] = 0; B.m[4][1] = 0;B.m[4][2] = 0; B.m[4][3] = 0;B.m[4][4] = 1; B.m[4][5] = 1;
        B.m[5][0] = 0; B.m[5][1] = 0;B.m[5][2] = 0; B.m[5][3] = 0;B.m[5][4] = 0; B.m[5][5] = 1;
 
        A.m[0][0] = 2;
        A.m[1][0] = 1;
        A.m[2][0] = 27;
        A.m[3][0] = 9;        
        A.m[4][0] = 3;
        A.m[5][0] = 1; 
    

	    A = qpow(B, n - 2) * A ;
	    cout << A.m[0][0] << endl ; 


    }
    return 0;
}

第一次写矩阵快速幂哈哈哈