广义最小二乘估计

最小二乘估计的使用前提总是假设线性回归模型的误差是等方差且不相关的，即$Cov(e)={\sigma }^{2}I$，虽然在许多情况下，这个假定可以认为近似地成立，但有时我们的确要考虑假定不成立时的情况。
为了讨论的简单，我们假定以下的的$\Sigma$（正常情况下是有参数的）是完全已知的。
我们讨论的模型：$$\{\begin{array}{l}y=X\beta +e,(\ast )\\ E(e)=0,\\ Cov(e)={\sigma }^2\Sigma \end{array}$$
(注：$\Sigma$是正定矩阵，故存在$P_{n\times n}$使得$\Sigma =P$