数据结构—动态规划

动态规划与分治法的区别

• 动态规划算法与分治法类似，其基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，再结合这些子问题的解得到原问题的解。

• 与分治法不同的是，适合用动态规划法求解的问题经分解得到的子问题往往不是独立的。

• 若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以致最后解决原问题需要消耗指数级时间。然而不同子问题的数目常常只有多项式数量级。

• 在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。

• 如果能够保存已解决的子问题的答案，在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，从而得到多项式时间算法。

• 为了达到此目的，可以用一个表来记录所有已经解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思想。

动态规划法适用于解最优化问题，通常可按以下4个步骤设计：

• 找出最优解的性质，并刻画其结构特征
• 递归地定义最优值
• 以自底向上的方式计算最优值
• 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

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区别总结

1. 分治法与动态规划主要共同点:
   二者都要求原问题具有最优子结构性质,都是将原问题分而治之,分解成若干个规模较小(小到很容易解决的程序)的子问题.然后将子问题的解合并,形成原问题的解.
2. 分治法与动态规划实现方法:
   ① 分治法通常利用递归求解.
   ② 动态规划通常利用迭代法自底向上求解,但也能用具有记忆功能的递归法自顶向下求解.
3. 分治法与动态规划主要区别:
   ① 分治法将分解后的子问题看成相互独立的.
   ② 动态规划将分解后的子问题理解为相互间有联系,有重叠部分.

下面以具体的例子来说明如何运用动态规划算法的设计思想，并分析可用动态规划算法求解问题所应具备的一般特征。

最长公共子序列

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。

确切的说，若给定序列X={ $x_1,x_2,...,x_m$},则另一序列Z={ $z_1,z_2,...,z_k$},是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{ $i1,i2,...,ik$}使得对于所有$j=1,2,...,k$,有：$z_j=x_{ij}$。

例如：序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

例如:若X={A,B,C,B,D,A,B}，Y={B,D,C,A,B,A}则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，但它不是X和Y的一个最长公共子序列。序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列，其长度为4，而且它是X和Y的最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

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最长公共子序列的结构

穷举搜索法是最容易想到的算法，对X的所有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。并且在检查过程中记录最长的公共子序列。X的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。X的每个子序列相应于下标集{1,2,…,m}的一个子集，因此有$2^m$个不同的子序列，从而穷举搜索法需要指数时间。

事实上，最长公共子序列问题具有最优子结构的性质。

设序列X={ $x_1,x_2,...,x_m$}和Y={ $y_1,y_2,...,y_n$}的最长公共子序列为Z={ $z_1,z_2,...,z_k$},则

• 若$x_m=y_n$,则$z_k=x_m=y_n$,且$z_k-1$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的最长公共子序列。
• 若$x_m!=y_n$且$z_k!=x_m$,则Z是$X^{}$