python实现Bresenham 算法

Bresenham 算法由 Bresenham 在 1965 年提出，是计算机图形学领域中使用最为广泛的线段光栅化算法。该算法最初是为数字绘图仪设计的，由于它也适用于光栅图形显示器，后来被广泛应用于直线的光栅化与其他一些应用。

为方便讨论，这里假设直线斜率在（0，1）之间
假设直线方程为y = kx+b ，当前扫描转换得到的像素点为 Pi，则下一个与直
线最近的像素只能是正右方的或者右上方的 。
要想知道是正右方还是右上方，只需要知道d1和d2哪个大即可。因此我们的目标转换为判断d1-d2是否大于0.
ei = d1 - d2 = ||QQ1|| - ||QQ2||
= [k(xi + 1) + b - yi] - [yi + 1 - (k(xi + 1) + b)]
= 2kxi - 2yi + 2b + 2k -1
2b + 2k -1是一个常数，因此，类似于 DDA 算法的思想，在计算下一个像素点的误差 时，可以基于当前误差 计算误差的增量，从而简化这一常数的计算，即：
e(i+1) = 2kx(i+1) - 2y(i+1) + 2b + 2k -1
= 2k (xi + 1) - 2y(i+1) + 2b + 2k -1 //因为k为（0,1）因此x(i+1) = xi + 1
= 2kxi - 2yi + 2b + 2k - 1 - 2y(i+1) + 2yi + 2k
= ei - 2(y(i+1) - yi) + 2k
其中 k = dy / dx 仍然是一个浮点数，因为dx>0 ，因此dx*(d1 - d2)并不会改变符号，我们也只需要知道结果是否大于0，上式两边同时乘以dx:
dxe(i+1) = dxei - 2(y(i+1) - yi)dx +2dy
重新记ei = dxei :
e(i+1) = ei - 2(y(i+1) - yi)dx + 2dy
由ei的定义以及上式我们可以分析得到：
（1） 若 ei >= 0，即 d1>=d2，选取右上方的点，则 y(i+1) = yi +1，因此 e(i+1) = ei +2dy -2dx；
（2） 若 ei < 0，即 d1<d2，选取正右方的点，则 y(i+1) = yi，因此 e(i+1) = ei +2dy ；

e1 = dx( 2kx1 - 2y1 + 2b + 2k -1)，直线过（x1, y1)因此:
e1 = dx(d1 - d2) = dx(2k -1) = 2dy - dx

按照这个描述我们可以写出代码：

# 仅使用于斜率小于1并且dx = x2 - x1  > 0的情况
def BresenhamLine(x1, y1, x2, y2, color):
    dx = x2 - x1
    dy = y2 - y1
    # e1 的值
    e = 2 * dy - dx
    x = x1
    y = y1
    for i in range(0, int(dx + 1)):
        plt.plot(x, y, color)
        # 如果e >= 0 ，选取右上方的点,y(i+1) = yi + 1,否则y(i+1) = yi
        # 若 ei >= 0， e(i+1) = ei +2dy -2dx，否则 e(i+1) = ei +2dy 
        if e >= 0:
            y += 1
            e -= 2 * dx
        e += 2 * dy
        x += 1
    plt.show()

通用的Bresenham算法：

# 通用的Bresenham算法
def GenericBresenhamLine(x1, y1, x2, y2, color):
    dx = abs(x2 - x1)
    dy = abs(y2 - y1)
    # 根据直线的走势方向，设置变化的单位是正是负
    s1 = 1 if ((x2 - x1) > 0) else -1
    s2 = 1 if ((y2 - y1) > 0) else -1
    # 根据斜率的大小，交换dx和dy，可以理解为变化x轴和y轴使得斜率的绝对值为（0,1）
    boolInterChange = False
    if dy > dx:
        np.swapaxes(dx, dy)
        boolInterChange = True
    # 初始误差
    e = 2 * dy - dx
    x = x1
    y = y1
    for i in range(0, int(dx + 1)):
        plt.plot(x, y, color)
        if e >= 0:
            # 此时要选择横纵坐标都不同的点，根据斜率的不同，让变化小的一边变化一个单位
            if boolInterChange:
                x += s1
            else:
                y += s2
            e -= 2 * dx
        # 根据斜率的不同，让变化大的方向改变一单位，保证两边的变化小于等于1单位，让直线更加均匀
        if boolInterChange:
            y += s2
        else:
            x += s1
        e += 2 * dy
    plt.show()

算法特点：
（1） 不必计算直线之斜率，因此不必做除法；
（2） 不用浮点数，只用整数；
（3） 只做整数加减法和乘 2 运算，而乘 2 运算可以用硬件移位实现。
因此整个算法速度很快，并适合于用硬件实现。