数据结构-时间复杂度计算示例

1 数据结构-第一章-思维导图

  数据结构-第一章-思维导图缩略图展示如下图1所示：

图1

2 时间复杂度-简介

  在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。
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3 时间复杂度-示例

3.1 时间复杂度-常用技巧

  时间复杂度的计算满足两个规则，分别是加法规则和乘法规则：
  1.加法规则（多项相加，只保留最高阶的项，且系数变为1）：T(n) = T₁(n) + T₂(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n) , g(n)))
  2.乘法规则（多项相乘，都保留）：T(n) = T₁(n) × T₂(n) = O(f(n)) × O(g(n)) = O(f(n) × g(n))

  时间复杂度的计算中，常见时间复杂度之间的关系。
  所消耗的时间从小到大排序为：O(1) < O(log₂n) < O(n) < O(nlog₂n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)，口诀是“常对幂指阶”。

  1、顺序执行代码中语句只会影响常数项，可以忽略；
  2、循环语句中，只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数和n的关系即可；
  3、如果有多层嵌套循环，只需关注最深层循环循环了几次。

3.2 时间复杂度-示例

  以下题目均来自王道考研系列-《数据结构考研复习指导》，均为计算时间复杂度。

3.2.1 对数阶-时间复杂度计算

  1、以下算法的时间复杂度为：

void fun(int n){
	int i = 1;
	while(i <= n)
		i = i * 2;
}

  1、【解析】基本运算为i = i * 2，该语句每次执行就是i乘2，设执行次数为t，则2^t≤n，即t≤log₂n，因此时间复杂度T(n)=O(log₂n)。

  2、设n是描述问题规模的非负整数，下面的程序片段的时间复杂度是：

x = 2;
while(x < n/2)
x = 2 * x;

  2、【解析】基本运算为x = 2 * x，该语句每次执行就是x乘2，设执行次数为t，则2^t+1≤n/2，即t≤log₂n-2，根据加法规则，得到时间复杂度为T(n) = T₁(n) + T₂(n)= O(f(log₂n)) + O(g(-2)) = O(max(f(log₂n) , g(-2)))=O(log₂n)，即T(n) = O(log₂n)。

  3、下列程序段的时间复杂度是：

count = 0;
for(k=1;k<=n;k*=2)
	for(j=1;j<=n;j++)
		count++;

  3、【解析】内层循环条件j≤n与外层循环的变量无关，各自独立，每执行一次j自增1，每次内层循环都都执行n次。外层循环条件k≤n，增量定义为k*=2，设循环次数为t，则t满足2^t≤n，即t≤log₂n。即内层循环的时间复杂度为O(n)，外层循环的时间复杂度为O(log₂n)。对于嵌套循环，根据乘法规则可知，该段程序的时间复杂度为：T(n) = T₁(n) × T₂(n) = O(n) × O(log₂n) = O(nlog₂n)。

3.2.1 幂数阶-时间复杂度计算

  1、有以下算法，其时间复杂度为：

void fun(int n){
	int i = 0;
	while(i*i*i<=n)
		i++;
}

  1、【解析】基本运算为i++，该语句每次执行就是i加1，设执行次数为t，有t×t×t≤n，即t³≤n，即t≤n^1/3，因此时间复杂度T(n)=O(n^1/3)。

  2、下列函数的时间复杂度是：

int func(int n){
	int i=0, sum=0;
	while(sum<n) sum += ++i;
	return i;
}

  2、【解析】基本运算为sum += ++i，它等价于++i;sum=sum+i，每执行一次i自增1，i=1时，sum=0+1；i=2时，sum=0+1+2；i=3时，sum=0+1+2+3，以此类推得出sum=0+1+2+3+…+i=(i+1)*i/2，设循环次数为t，则t满足(t+1)*t/2<n，因此时间复杂度为T(n)=O(n^1/2)。

  3、设n是描述问题规模的非负整数，下列程序段的时间复杂度是：

x = 0;
while(n>=(x+1)*(x+1))
x = x + 1;

  3、【解析】基本运算为x = x + 1，该语句每次执行就是x加1，假设第k次循环终止，则第k次执行时，(x+1)²>n，x的初始值为0，第k次判断时x=k-1，即k²>n，k>n^1/2，因此该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n^1/2)。