中缀表达式转后缀表达式

1 后缀式简介

  一种不需要括号的后缀表达法，也把它称为 逆波兰表示，是波兰逻辑学家卢卡西维奇（Lukasiewicz)发明的一种表示表达式的方法。

2 由中缀表达式求后缀表达式示例（3种方法）

  中缀表达式指的是“9+(3-1)×3+8÷2”，这种就是我们通常见到的书写算式顺序，要计算中缀表达式则首先要将字符串转换为后缀表达式，即9 3 1 - 3 * + 8 2 / +，以下均是对于“9+(3-1)×3+8÷2”算式求解后缀表达式的方法。

2.1 方法一：栈的应用-四则运算表达式求值

2.1.1 栈的应用-四则运算表达式求值规则

  1.设定运算符栈；
  2.从左到右遍历中缀表达式的每个数字和运算符；
  3.若当前字符是数字，则直接输出成为后缀表达式的一部分；
  4.若当前字符为运算符，则判断其与栈顶运算符的优先级，若优先级大于栈顶运算符，则进栈；若优先级小于等于栈顶运算符，退出栈顶运算符成为后缀表达式的一部分，然后将当前运算符放入栈中；
  5.若当前字符为“(”，进栈；
  6.若当前字符为“)”，则从栈顶起，依次将栈中运算符出栈成为后缀表达式的一部分，直到碰到“(”。将栈中“(”出栈，不需要成为后缀表达式的一部分，然后继续扫描表达式直到最终输出后缀表达式为止。

2.1.2 栈的应用-四则运算表达式求值示例

  1、初始化一个空栈。此栈用来对运算符进出栈使用。如图2-1-2-1的左图所示。
  2、第一个字符是数字9，直接输出9（根据规则3），第二个字符是运算符“+”，则“+”进栈（根据规则4），如图2-1-2-1的右图所示。

图2-1-2-1   3、第三个字符是符号“(”，则“(”进栈（根据规则5），如图2-1-2-2左图所示。

  4、第四个字符是数字3，直接输出3（根据规则3），总输出表达式为

    9 3

  第五个字符是运算符“-”，则“-”进栈（根据规则4），第六个字符是数字1，直接输出1（根据规则3），总输出表达式为

    9 3 1

  如图2-1-2-2右图所示。

图2-1-2-2   5、第七个字符是符号“)”，此时依次将栈中运算符出栈成为后缀表达式的一部分，直到碰到"("，此时“(”上方只有“-”运算符，因此输出“-”运算符（根据规则6），总输出表达式为

    9 3 1 -

  如图2-1-2-3左图所示。

  6、第八个字符是运算符“ * ”，因为此时的栈顶符号是运算符“+”，优先级低于“ * ”，因此不输出，“ * ”进栈（根据规则4），如图2-1-2-3右图所示。

图2-1-2-3

  第九个字符是数字3，直接输出3（根据规则3），总输出表达式为

    9 3 1 - 3

  7、第十个符号是运算符“+”，此时栈顶符号是“*”，比“+”运算符的优先级高。因此栈中元素出栈并成为后缀表达式的一部分（没有比“+”运算符更低的优先级，所以全部出栈），总输出表达式为

    9 3 1 - 3 * +

  后把第十个符号“+”进栈（根据规则4）。
  之前输出成为后缀表达式的“+”是中缀表达式中“9 + ”的“+”，现在入栈的“+”是中缀表达式中“9 + (3 - 1) × 3 +”的“+”。如图2-1-2-4左图所示。

  8、第十一个符号是数字8，直接输出8（根据规则3），总输出表达式为

    9 3 1 - 3 * + 8

  第十二个符号是运算符“÷”，则“/”进栈（根据规则4），如图2-1-2-4右图所示。

图2-1-2-4   9、第十三个字符也就是最后一个字符是数字2，直接输出2（根据规则3），总输出表达式为

    9 3 1 - 3 * + 8 2

  如图2-1-2-5左图所示。

  10、因为已经到了最后一个字符，所以将栈中符号全部出栈成为后缀表达式的一部分，最终输出表达式为

    9 3 1 - 3 * + 8 2 / +

  如图2-1-2-5右图所示。

图2-1-2-5   整个过程，都充分利用了栈的后进先出特性来处理。

  ------以上过程参考《大话数据结构》中“栈的应用-四则运算表达式求值”内容。

2.2 方法二：二叉树应用

2.2.1 二叉树应用规则

  后序遍历（LRD）是二叉树遍历的一种，也叫做后根遍历、后序周游，可记做左右根。后序遍历有递归算法和非递归算法两种。在二叉树中，先左后右再根，即首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。
------粘百度百科

2.2.2 二叉树应用示例

  直接根据表达式转换画二叉树（画二叉树过程不在描述），如图2-2-2-1所示，之后进行后序遍历便可得到后缀表达式。

图2-2-2-1   最后输出后缀表达式为:  

    9 3 1 - 3 * + 8 2 / +

2.3 方法三：加括号法

2.3.1 加括号法规则

  1、根据运算符的优先级对中缀表达式加括号（有几个运算符就有几对括号，原有的括号不用加）
  2、将运算符移到对应括号后面
  3、去掉所有括号，即为后缀表达式
  ------粘百度百科

2.3.2 加括号法示例

  中缀表达式为“9+(3-1)×3+8÷2”

    1、变为（(9+((3-1)×3))+(8÷2)）
    2、变为（(9((31)-3)*)+(82)/）+
    3、得到9 3 1 - 3 * + 8 2 / +

  最后输出后缀表达式为

    9 3 1 - 3 * + 8 2 / +