Ford-Fulkerson算法——最大流、最小割问题

Effys

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分类专栏：算法文章标签：网络流算法

于 2019-05-21 23:04:37 首次发布

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流网络

网络流G=(v, E)是一个有向图，其中每条边(u, v)均有一个非负的容量值，记为c(u, v) ≧ 0。如果(u, v) ∉ E则可以规定c(u, v) = 0。网络流中有两个特殊的顶点，即源点s和汇点t。

流的定义

与网络流相关的一个概念是流。设G是一个流网络，其容量为c。设s为网络的源点(source)，t为汇点(sink)，那么G的流是一个函数f：V×V →R，满足以下性质：

容量限制：对每条边e ∈ E ：0<=f(e)<=c(e)
流守恒性：对每个顶点v ∈ V-{s,t}: $\sum_{e\ into\ v}f(e)=\sum_{e\ outof\ v}f(e)$

定义：流的值为： $v(f)=\ \sum_{e\ outof\ s}f(e)$

如图：

最大流问题

就是在容量容许的条件下，从源点到汇点所能通过的最大流量

在这之前，先看几个定义。

增广路径

定义：增广路径是找出在残留网络中从源点到汇点的有向路径。增广路径的残留容量是路径中任意边所形成的最小残留容量。显然，我们可以沿着增广路径从源点到汇点发送额外的流。

通过寻找增广路径，我们可以迭代的增加流的值

如何寻找增广路径？

在残量图中找

残量图

定义：

原边：e=(u,v)∈E，有流 f(e),容量 c(e)

残量边：

前向边：e=(u,v)∈E，当f(e)<c(e)
反向边： $e^R=(u,v)$ ，当f(e)>0
残量容量:

残量图： $G_f=(V,E_f)$

残量边有正的残余容量
$E_f=\left \{ e:f(e)<c(e) \right \}\bigcup \left \{ e^R:f(e)>0 \right \}$

Ford-Fulkerson算法伪代码

bottleneck是一条路径中最小的那个容量

构造残量图不用真的构造，有trick（俺也不知道，等俺想到了补上）

Augment(f,c,P)
    b=bottleneck(P)
    for each e ∈ P
        if (e∈E) f(e)=f(e)+b
        else f(eR)=f(e)-b
    return f

Ford-Fulkerson(G,c,s,t)
{
    for each e∈E f(e)=0
    Gf= residual graph

    while(there exists augmenting path P in Gf)
        f=Augment(f,c,P)
        update Gf
    
    return f
}

证明算法正确性

算法中while循环是否会终止

假定：所有的容量都是整数
声明1：f是G中的一个流，P是 $G_f$ (残量图)中s到t的一条简单路径。则

v(f')=v(f)+bottleneck(P,f)

并且只要bottleneck(P,f)>0,则有v(f')>v(f)

声明2：Ford-Fulkerson算法的while循环最多终止在 $C(\sum _{e\ out of\ s}c_e)$ ，即s输出的容量和，不可能更大，但可能更小

实数可以作为容量吗？

在实际应用中，容量一般是整数和有理数。如果容量带小数，可能会遇到循环多次，每次流只增加一点点，循环很难结束的情况

证明算出来的最大流是正确的

引入割的概念

割（cuts）

定义：是网络中顶点的一个划分，把所有顶点划分成两个顶点集合A和B，其中源点s属于A，汇点t属于B，记作(A,B)

割的容量的定义：所有正向割边的容量和，不同割的容量不同，即 $cap(A,B)=\sum _{e\ outof\ A}c(e)$

最小割问题

即为求一个最小容量的割

证明求最小割和求最大流是一样的

流值引理（Flow value lemma）

设f是任意s到t的流，(A,B)是任意s到t的割，则经过割的净流量等于s输出的流量

如图，三个割的净流量都是等于s输出的流量24

证明：

弱对偶性（Weak duality）

设f是任意s到t的流，(A,B)是任意s到t的割，则流的最大值最多能到割的容量，即v(f)<=cap(A,B)

证明：

最佳选择证明

推论：设f是任意s到t的流，(A,B)是任意s到t的割，如果v(f)=cap(A,B),则f是最大流，(A,B)是最小割

最大流最小割定理

最大流的值等于最小割的值

增广路径定理

f是s到t的最大流当且仅当没有增广路径时

证明策略：这三个性质可以相互推导

（1）存在一个割(A,B)满足v(f)=cap(A,B)

（2）流f是最大流

（3）没有与f有关的增广路径

（1）推导（2）：弱对偶性的推论（不懂……）

（2）推导（3）：反证法：如果f存在增广路径，则f还可以增长，则f不是最大流

（3）推导（1）：

构造性证明，对条件（3），求出割(A,B)满足v(f)=cap(A,B)

设流f没有增广路径

设A是残量图 $G_f$ 中从源点s出发的一系列可达的顶点的集合

进入A的边f(e)=0，从A出来的边的f(e)等于c(e)

反推：

如果一条边进入A且f(e)不为0，那么这条边的起点应该在A里

如果一条边从A出来且f(e)不等于c(e),那么这条边的终点也在A里（俺也没明白，到底啥意思啊……）

如何求最小割

那么如何来求出最小割的其中一种方案呢，我们在进行最大流计算完成之后，从原点进行遍历整张图，将遍历到的点标记为 true ；最终结束之后，所有标记为 true 的点和没有标记的点之间就是一个割边。
那么为什么求出来的就是割边呢，因为最大流之后，所有通路在满流的那条通道处断掉了，也就是没有办法继续走下去，而这条通道一边标记为了 true 另一边没有被标记，那么他们之间就是一个割边了。

时间复杂度

完整性定理：如果所有的容量都是整数，那么最大流也是整数

证明很简单，因为每次求路径p的瓶颈肯定是整数，求残量图的容量也是整数，再求增广路径上的容量也还是整数，所以最大流一定是整数

Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于增广路径如何决定
如果所有的容量都是整数，有一个Ford-Fulkerson算法的直接实现的时间复杂度O(|E||f*|),其中f*由算法决定
Edmonds Karp 算法是 Ford Fulkerson 方法的一种具体实现。它采用 BFS 搜索方法在剩余网络中寻找一条增广路径。具体做法是先对每条边的权值统一赋值为 1 ，然后找一条从 s 到 t的最短路径。基于此方法， Edmonds Karp 算法求最大流的时间为 $O(VE^2)$