数据结构与算法学习 多路查找树

二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高，但是也存在问题 , 请看下面的二叉树

1) 二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多 ( 比如 1 亿 ) ， 就存在如下问题 :

• 2) 问题 1：在构建二叉树时，需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响
• 3) 问题 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度.

        

多叉树

1) 在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（ multiway tree ）

2) 后面我们讲解的 2-3 树， 2-3-4 树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。

B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。

1) 如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度 .

2) 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页 ( 页得大小通常为 4k) ，这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入

3) 将树的度 M 设置为 1024 ，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素 , B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

 

2-3 树

        前面讲到了二叉搜索树 (BST) 和二叉平衡树 (AVL) ，二叉搜索树在最好的情况下搜索的时间复杂度为 O(logn) ，但如果插入节点时，插入元素序列本身就是有序的，那么BST树就退化成一个线性表了，搜索的时间复杂度为 O(n)。
        如果想要减少比较次数，就需要降低树的高度。在插入和删除节点时，要保证插入节点后不能使叶子节点之间的深度之差大于 1，这样就能保证整棵树的深度最小，这就是AVL 树解决 BST 搜索性能降低的策略。但由于每次插入或删除节点后，都可能会破坏 AVL 的平衡，而要动态保证 AVL 的平衡需要很多操作，这些操作会影响整个数据结构的性能，除非是在树的结构变化特别少的情形下，否则 AVL 树平衡带来的搜索性能提升有可能还不足为了平衡树所带来的性能损耗。
        因此，引入了 2-3 树来提升效率。2-3 树本质也是一种平衡搜索树，但 2-3 树已经不是一棵二叉树了，因为 2-3 树允许存在 3 这种节点，3- 节点中可以存放两个元素，并且可以有三个子节点。

2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:

• （1）对于每一个结点有 1 或者 2 个关键码。
• （2）当节点有一个关键码的时，节点有 2 个子树。
• （3）当节点有 2 个关键码时，节点有 3 个子树。
• （4）所有叶子点都在树的同一层。

2-3 树应用案例

将数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。

 2-3树的构建

插入规则 :

1) 2-3 树的所有叶子节点都在同一层 .( 只要是 B 树都满足这个条件 )

2) 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点 .

3) 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点

4) 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面 3 个条件。

5) 对于三节点的子树的值大小仍然遵守 (BST 二叉排序树 ) 的规则

B树 B+树 B*树

       转载自知乎 B树 B+树 B*树

        转载自优快云 b树与b+树

• 概念：

B树和平衡二叉树稍有不同的是B树属于多叉树又名平衡多路查找树（查找路径不只两个），数据库索引技术里大量使用者B树和B+树的数据结构。

• 规则：

（1）排序方式：所有节点关键字是按递增次序排列，并遵循左小右大原则；

（2）子节点数：非叶节点的子节点数>1，且<=M ，且M>=2，空树除外（注：M阶代表一个树节点最多有多少个查找路径，M=M路,当M=2则是2叉树,M=3则是3叉）；

（3）关键字数：枝节点的关键字数量大于等于ceil(m/2)-1个且小于等于M-1个（注：ceil()是个朝正无穷方向取整的函数 如ceil(1.1)结果为2);

（4）所有叶子节点均在同一层、叶子节点除了包含了关键字和关键字记录的指针外也有指向其子节点的指针只不过其指针地址都为null对应下图最后一层节点的空格子;