数据结构与算法(十四)之多叉树

实现索引的方法

1. 使用hashmap实现索引就不能实现范围查询。
2. 使用红黑树实现索引会存在树太高的情况，因为每查找一层就需要向磁盘发起一次请求，导致io消耗过大，消耗时间长，而且磁盘每个block是4k，使用红黑树存在空间浪费的现象。

这时候就需要更优的数据结构来存储数据，其中B树，B+树，B*树便是很好的一个选择。

B树

b树又叫多路查找树，b树中所有节点的孩子节点数的最大值称为b树的阶。其实就是将二叉搜索树合并。
M阶B树有一些重要特性：

1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2. 根结点的儿子数为[2, M]；
3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
4. 每个结点存放至少M/2（取上整）-1和至多M-1个关键字；（至少2个关键字,根节点至少一个关键字）；
5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[m-1]，m<M+1；且K[i]< K[i+1] ；
7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[m]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[m]指向关键字大于K[m-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8. 所有叶子结点位于同一层；

b树的搜索

1. 先在节点内部使用二分搜索搜索元素。
2. 如果命中，搜索结束。
3. 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素。

查找算法时间复杂度O(logn)，其思想与二分查找类似。

b树的添加

1. 首先使用b树搜索，搜索到指定适合的位置放入。
2. 如果对于m阶b树其值的个数超过m-1个，就需要进行上溢操作。

上溢

比如现在有个5阶b树：

• 插入34后不满足5阶b树的性质，则需要上溢
  
• 上溢后需要父节点再次上溢
  
• 这个是最终结果
  

b树的删除

1. 如果删除的值在叶子节点，那么直接删除。
2. 如果删除的值在非叶子节点：

• 先找到前驱（值的左树的最大值）或者后继（值的右树的最小值）元素。
• 当前值替换成该元素的值。
• 删除前驱或者后继。

因为b树有个性质：每个结点存放至少M/2（取上整）-1和至多M-1个关键字，如果叶子节点删除后值的个数小于M/2（取上整），就需要进行下溢操作。

下溢

下溢分2种情况：

1. 如果兄弟节点的个数大于等于M/2（取上整），那么借一个数（旋转）
   
2. 假如兄弟节点只有M/2-1不能借了，那么只能合并，也就是下溢
   
   如果父节点值的数量又小于M/2-1了，递归下溢。

B+树

b+树的本质其实就是b树+链表。b树中不存放数据，只存放索引，而链表中存放数据。

B+树的构建

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