ST表求解RMQ【Leo_Jose】

好久都没有写博客了。。。。。
今天来水一发。

题面在此：洛谷OJP3865【模板】ST表

一看这一道题的表粗句子就知道狠毒瘤卡常，所以scanf,printf，或者快读快写都得准备好。。。

前置知识1

考虑一下，假如我知道某个数组中区间[2,8]的最小值是x，区间[5,10]的最小值是y,那么区间[2,10]的最小值就是x,y之间的最小值

上面的这句话自己好好体会一下，这个思想就是ST表算法的精髓之一

前置知识2

对于倍增这个算法有一个博客讲得非常好商业互吹，你如果连这个博客都没有看懂的话那我也只能无能为力了

博客地址：如有侵权，请在下方评论区联系作者，我会删除

正片开始

既然了解了这两个前置知识，我们就来将一些ST表

令dp[i][j]为区间$[i,i+2^j-1]$的最小值，则dp[i][0]=a[i]，因为j=1时，区间$[i,i+2^j-1]=[i,i+1-1]=[i,i]=a[i]$

又因为对于区间[i,j]，可以分为$[i,i+2^{j-1}-1]和[i+2^{j-1},i+2^j-1]$两个部分（自己吧值带进去算一下）

所以又状态转移方程： d p [ i ] [ j ] = max ⁡ { d p [ i ] [ j − 1 ] , d p [ i + 2 j − 1 ] [ j − 1 ] } dp[i][j]=\max \{dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1]\} dp[i][j]=max{dp[i][j−1],dp[i+2j−1][j−1]}

这样就可以得到所有的dp[i][j]

注意，在初始化时，for 循环应该把j的循环套在外面，而i套在里面（血泪的教训）

void init()
{
	for(int j=1;j<=16/*这是对于模板1e5的数据，1e6的数据用19,这又是一个血泪辛酸史*/;j++)
		for(int i=1;i<=maxn;i++)
			dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);//如果是求最小值就改成min
}

初始化完成了，再就是如何求解区间最值了

如果询问的是区间[l,r],则需要取$k=(int){\log }_2(r-l+1)$

注意如果用cmath库的$\log 2$的函数会导致效率奇低，所以需要预处理出log数组

这个公式具体怎么推导出来的就不解释了（我绝对不会告诉你是因为我也不会推导这个公式的）

void initlog()
{
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
		log[i]=log[i/2]+1;
}

可见r-l+1指的就是区间的长度，k这么取就是因为 j 的缘故。。。

所以就可以得到： 区 间 [ l , r ] 的 最 小 值 为 ： max ⁡ { d p [ l ] [ k ] , d p [ r − 2 k + 1 ] [ k ] } 区间[l,r]的最小值为：\max\{dp[l][k],dp[r-2^k+1][k]\} 区间[l,r]的最小值为：max{dp[l][k],dp[r−2k+1][k]}

思考一下，为什么这么写，把逻辑理顺了，就理解了这个算法的本质，你的底蕴就达到了

见AC代码

//ST表模板
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
	register ll x=0,f=0;
	register char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
inline void write(ll x)//快读快写不提
{
	if(x<0)
		putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)
		write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const ll maxn=1e5+1e5;
ll n,m;
ll a[maxn];
ll dp[maxn][30];
inline ll mymax(ll x, ll y)//我嫌algorithm太慢
{
	return x>y?x:y;
}
void init()//dp数组初始化
{
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		dp[i][0]=a[i];
	for(ll j=1;j<=16;j++)
		for(ll i=1;i<=n;i++)
			dp[i][j]=mymax(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
inline ll RMQ(ll l, ll r, ll k)
{
	return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
int log[maxn];
void initlog()//log数组的初始化
{
	for(int i=5;i<=maxn-1;i++)
		log[i]=log[i/2]+1;
}
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(register ll i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	init();
	initlog();//输入与初始化
	while(m--)
	{
		register ll l=read(),r=read();
		write(RMQ(l,r,log[r-l+1])),putchar('\n');
	}
	return 0;
}