大学物理电磁学（一）----基本电磁关系

铁拐尊者

已于 2024-11-29 16:41:06 修改

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文章标签：学习

于 2024-11-29 12:13:20 首次发布

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电磁学是物理学中研究电磁现象和电磁力的分支，它涵盖了电和磁两个看似独立但在本质上紧密相连的领域。从古至今，人类对电和磁的认识经历了漫长的探索过程，从古希腊时期对静电现象的观察，到19世纪麦克斯韦对电磁理论的系统化总结，电磁学的发展极大地推动了现代科技的进步，特别是在通信、能源传输和电子设备等领域。

在电磁学中，有几个核心概念是理解电磁现象的基础：

1. 磁通量密度（B）：磁通量密度，也称为磁场强度或磁感应强度，是一个矢量量，用来描述磁场的强度和方向。它的单位是特斯拉（T）。磁通量密度是磁场线密度的度量，即单位面积上的磁通量。

2. 磁场强度（H）：磁场强度是一个矢量量，用来描述磁场的产生源，其单位是安培每米（A/m）。磁场强度与电流和磁性材料的性质有关，它与磁通量密度的关系由材料的磁导率决定，即 $\vec{B}=\mu \vec{H}$ ，其中 $\mu$ 是磁导率。

3. 电感应强度（E）：电感应强度，也称为电场强度，是一个矢量量，用来描述电场的强度和方向。它的单位是伏特每米（V/m）。电感应强度是由电荷产生的，与电场中某点的电势变化率成正比。

4. 电场强度（D）：电场强度，也称为电位移矢量，是一个矢量量，用来描述电场与物质的相互作用。它的单位是库仑每平方米（C/m²）。电场强度与电感应强度的关系由材料的电容率决定，即 $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ ，其中 $\epsilon$ 是电容率。

一.电场强度与其相关公式

首先说场（Field），它其实是一种客观存在的物质，但是看不见摸不着。它是电荷在空间中产生的物理场，可以传递电荷之间的相互作用。

（1）我们使用试验电荷（test charge）可以确定电场的定义式 $\vec{E}=\frac{\vec{F}}{Q}$ 其中Q为检验电荷。

（2）电场的决定式为： $\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}=k\cdot \frac{Q}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{Q}{r^2}\vec{e_{r}}$ 。其中 $\vec{e_{r}}$ 为单位矢量。

（3）通过上式我们可以得知，电场强度为矢量，可以进行矢量的叠加运算：

$\vec{E}=\vec{E_{1}}+\vec{E_2}+...+\vec{E_n}=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\sum_{i}^{n}\frac{Q_i}{\vec{r_i}^2}\vec{e_r}$
（4）那么对于连续的电荷分布，我们进行电场运算通常采用微元积分：

$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon _0}\frac{dQ}{r^2}, E=\int dE$

二.磁场强度及其相关公式

磁场强度是是一个描述磁场性质的物理量。它是一个矢量量，用来表示磁场的强度和方向。磁场强度的单位是安培每米（A/m）。它最初是由物理学家为了描述和量化磁场而引入的一个物理量。

类比电场，我们有：

（1）我们使用试验磁荷 $\phi$ （磁单极子）可以确定磁场强度的定义式： $\vec{H}=\frac{\vec{F}}{\phi }$

但是磁单极子并不存在，只是物理学家类比电场强度而假设的物理量，所以该定义式并没有意义。

（2）磁场库仑力公式为： $\vec{F}=k_m\frac{\phi_1\phi_2}{r^2}$ ， $k_m=\frac{1}{4\pi\mu_{0} }$ ，（ $\mu_0$ 为真空磁导率）。

（3）磁场强度公式为： $\vec{H}=\frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{\phi }{r^2}\vec{e_r}$ ，其中 $\vec{e_{r}}$ 为单位矢量。

（4）根据洛伦兹力公式，我们可以推导磁通量密度（B）的公式： $\vec{B}\times \vec{V}q=\vec{F}$ 。

（5）根据毕奥-赛伐尔公式是一个描述电流元在空间任意点所激发磁场的定律：

$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Id\vec{l}\times \vec{e_r}}{r^2}$ 。其中 $\vec{e_{r}}$ 为单位矢量。 $l$ 为电流元积分路径，即导线路径。

ps： $H$ 只是一个辅助量，通常用来计算电流的磁效应，涉及磁场与其他物理量的相互作用时，一

般需要使用磁感应强度 $B$

三.磁极化与电极化

（一）磁极化

由于分子电流等原因。磁介质的微观结构具有磁矩。

无外磁场时，磁介质微观结构排布杂乱无章，总磁矩m为0。

有外磁场时，磁介质微观结构排布整齐，总磁矩m不为0。

（图片来源于知乎）

（1）对于磁化强度 $M$ ，定义为介质内体积微元 $dV$ 内的总磁矩 $dm$ 与 $dV$ 之比。

$\vec{M}=\frac{d\vec{m}}{dV}=\chi _m\vec{H}$ ， $\chi _m$ 为磁化率。

磁化强度，磁场强度，磁通量密度的关系：

（2）其关系为： $\frac{\vec{B}}{\mu_0}=\vec{H}+\vec{M}$ ， $\vec{H}$ 为全电流产生的磁场强度， $\vec{M}$ 为物质磁化产生的磁化磁场强度。我们进一步推导：

$\frac{\vec{B}}{\mu_0}=\vec{H}+\vec{M}=\vec{H}+\chi _m\vec{H}=(1+\chi_m)\vec{H}=\mu_r\vec{H}$ ， $\mu_r$ 为相对磁导率，其值为磁化率加一。

对于上式我们知道 $\vec{H}+\vec{M}$ 为磁场总强度，其值为磁感应强度与真空磁导率的比值。

（3）根据（1）（2）我们可以知道： $\frac{\vec{B}}{\mu_0}=\mu_r\vec{H}$ ，则 $\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}=\mu\vec{H}$ 。

（4）安培环路定律：

对于磁矩与磁偶极矩，我们可以看下图理解：

（图片来源于知乎）

（二）电极化

电介质的微观结构具有电偶极矩。

无外电场时，电介质微观结构排布杂乱无章，总电偶极矩为0。

有外电场时，电介质微观结构排布整齐，总电偶极矩不为0。

（图片来自知乎）

（1）我们类比磁极化的过程，定义电极化，对于电极化强度有： $\vec{P}=\frac{d\vec{p}}{dV}=\chi _e\varepsilon _0\vec{E}$

其中 $\chi _e$ 为电极化率。

（2）那么我们探讨电场强度，电通量密度与电极化强度的关系。

有如下公式： $\vec{E}=\frac{\vec{D}}{\varepsilon _0}-\frac{\vec{P}}{\varepsilon _0}$ ，这就是一个系统的电场总强度， $\frac{\vec{D}}{\varepsilon _0}$ 为电荷产生的电场强度， $\frac{\vec{P}}{\varepsilon _0}$ 为极化电荷产生的反向电场强度。（我们可以简单理解为一个系统对外的电场总强度就是自身所带自由电荷与在外电场下极化产生的反向电场强度的矢量和）

那么我们是不是就可以将 $\frac{\vec{P}}{\varepsilon _0}$ 这部分减去呢，总电场 $\vec{E}$ 等于原电场减去极化电场。我们用 $\vec{E1}$ 表示原电场， $\vec{E1}=\vec{E}-\frac{\vec{P}}{\varepsilon _0}=\frac{\vec{D}}{\varepsilon _0}$ 。所以电通量密度除以真空介电常数等于原电场的电场强度。

（3）高斯定理：

电极化强度的数值就是Gauss面上电荷密度。由于介质本身不带电，Gauss面上却有电荷，Gauss面内必有与Gauss面上等量异号的电荷（实际上这些电荷在点电荷附近），这些异号的电荷即为极化电荷q'。

我们延申高斯定律：闭合曲面的电通量等于闭合曲面所包围自由电荷的电荷量。

$\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum_{S}^{}Q_i=\int \iint_{}^{}\rho dV$ ，其中 ρ 为电流密度。因为 $\vec{E1}=\vec{E}-\frac{\vec{P}}{\varepsilon _0}=\frac{\vec{D}}{\varepsilon _0}$ ，我们带入公式得到: