用递归树方法求解递归式

用递归树方法求解递归式

[备注：需要修改]
一个递归算法的递归式：$T\left(n\right)=3T\left(n/4\right)+c{n}^2$

我们先来了解一下这个递归式什么意思：

• $3$ 表示我们将一个问题分解为$3$个子问题；
• $n/4$ 则表明每个子问题的规模是原问题的$1/4$；
• $T\left(\right)$ 表明的为递归形式；
• $c{n}^2$ 表明为合并需要的时间，其中$c$为常数系数$c>0$。其实也就是算法度$\Theta \left(n^2\right)$。

好嘞~，现在来看递归树：

我们可以从上图中得出：

• 该树的长度为：$lo{g}_{4}n$。理由为：
      原本问题的规模为$n$，到了树的最底层，则为$1$了，也就是说，每往下一层，则规模为$1/4$，我们假设它除去了$i$个$4$（$i$个结点），也就是说，$n÷4_1÷4_2÷..÷4_i=1$，换个思维，可以说是：$4^i=n$，换算一下也就是$i=lo{g}_{4}n$

• 每往下一层，其子问题得规模为原问题$1/4$，也可以说是根据其结点，也就是结点每往下一层，其规模减少$1/4$，我们设置结点为$i$，就可以得到第$i$层的规模将减少至原规模的$\frac{1}{4^i}$，又因为$n$为原规模，所以可以得出：
      当结点为$i$的时候，得出规模为：$\frac{n}{4^i}$

• 每层的节点数都是上层的$3$倍，所以，当结点为$i$时，因此深度为$i$的结点数为$3^i$

• 我们可以看到递归树的最上面那层，表示一开始的代价为$c{n}^2$，我们上面求出了结点为$i$的时候，规模为：$\frac{n}{4^i}$，我现在将其转为代价，结点为$i$的时候，代价为 $c{\left(\frac{n}{4^i}\right)}^2$，我们需要把结点数也算上，结点为$i$时，有$3^i$个结点，最后乘起来，得到：
      $3^i\cdot c{\left(\frac{n}{4^i}\right)}^2={\left(\frac{3}{16}\right)}^{i}c{n}^2$

现在我们可以用级和去求总代价：

    $T\left(n\right)={\sum }_{i=0}^{lo{g}_{4}n}($