算法导论第二章 2.2

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本文深入分析了算法的运行时间，分别探讨了2.2节中的不同算法在最佳、平均和最坏情况下的时间复杂度。通过对循环不变式和运行时间的详细计算，得出算法的运行时间是Θ(n²)和Θ(n)。最后，提出了通过修改算法以优化最佳情况运行时间的方法。

2.2 分析算法

2-1
$Θ (n ³)$

2-2

Selection-Sort(A)
1   for i = 1 to A.length - 1
2       Subscript = i                   // 存储下标
3       for j = i to A.length - 1
4           if A[Subscript] > A[j] 
5                Subscript = j          // 存储元素数据更小的数组下标
6       Data = A[Subscript]             // 交换数据
7       A[Subscript] = A[i]             // 交换数据
8       A[i] = Data                     // 交换数据

该算法的循环不变式：A[1…i]总是排好序的，Subscript总是A[i…n]中最小元素数据的下标
因为当前面的A[i…n - 1]已经是排序好的，且留在最后的一个元素中的数据一定是整个数组中最大的，所以可以省略掉最后一个的排序
每条语句的运行之和为：

Selection-Sort(A)
1   for i = 1 to A.length - 1                   c1              n
2       Subscript = i                           c2              n - 1
3       for j = i to A.length	                c3              ①
4           if A[Subscript] > A[j]              c4		②
5                Subscript = j                  c5  		②
6       Data = A[Subscript]                     c6		n - 1
7       A[Subscript] = A[i]                     c7		n - 1
8       A[i] = Data                             c8		n - 1

① $∑j=2ntj\sum ^{n}_{j=2}t_{j}$

② $∑j=2n(tj−1)\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)$

该算法的运行时间（执行每条语句的运行时间之和）是：
$T(n)=C1n+C2(n−1)+C3∑j=2ntj+C4∑j=2n(tj−1)+C5∑j=2n(tj−1)+C6(n−1)+C7(n−1)+C8(n−1)T\left( n\right) =C_{1}n+C_{2}\left( n-1\right)+C_{3}\sum ^{n}_{j=2}t_{j}+C_{4}\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)+C_{5}\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)+C_{6}\left( n-1\right)+ C_{7}\left( n-1\right)+ C_{8}\left( n-1\right)$

其中我们注意到：

$∑j=2ntj\sum ^{n}_{j=2}t_{j}$ = $(n(n+1)2−1)\left( \dfrac {n\left( n+1\right) }{2}-1\right)$

$∑j=2n(tj−1)\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)$ = $n(n−1)2\dfrac {n\left( n-1\right)}{2}$

最佳情况和最坏情况一样：
$T(n)=C1n+C2(n−1)+C3(n(n+1)2−1)+C4(n(n−1)2)+C5(n(n−1)2)+C6(n−1)+C7(n−1)+C8(n−1)T\left( n\right) =C_{1}n+C_{2}\left( n-1\right)+C_{3}\left( \dfrac {n\left( n+1\right) }{2}-1\right)+C_{4}\left( \dfrac {n\left( n-1\right)}{2}\right)+C_{5}\left( \dfrac {n\left( n-1\right)}{2}\right)+C_{6}\left( n-1\right)+C_{7}\left( n-1\right)+C_{8}\left( n-1\right)$

$=(C32+C42+C52)n2+(C1+C2+C32−C42−C52+C6+C7+C8)n−(C2+C3+C6+C7+C8)=\left( \dfrac {C_{3}}{2}+\dfrac{C_{4}}{2}+\dfrac{C_{5}}{2}\right)n^{2}+\left(C_{1}+C_{2}+\dfrac{C_{3}}{2}-\dfrac{C_{4}}{2}-\dfrac{C_{5}}{2}+C_{6}+C_{7}+C_{8}\right)n-\left(C_{2}+C_{3}+C_{6}+C_{7}+C_{8}\right)$

我们可以表示为： $an^{2}+bn+c$
忽略掉低阶项和最重要的项的常系数时，只剩下重要的项中的因子 $n^{2}$ ,得出运行时间为 $Θ(n2)Θ\left(n^{2}\right)$

2-3

平均情况： $Θ(n)Θ\left(n\right)$
最坏情况： $Θ(n)Θ\left(n\right)$
1-3代码如下：

FIND-SORT(A, u)
1   for i = 1 to A.length			c1		n + 1
2	if u == A[i]				c2		n
3	    return A[i]				c3		1
4   return NIL					c4		1

最坏情况：
该算法的最坏情况为最后一个元素为我们需要找的数据。
运行时间（执行每条语句的运行时间之和）是：

$T(n)=C1(n+1)+C2n+1+1T\left(n\right)=C_{1}\left(n+1\right)+C_{2}n+1+1$
$=(C1+C2)n+C1+2=\left(C_{1}+C_{2}\right)n+C{1}+2$

我们可以表示为： $a n + b + c$
忽略掉低阶项和最重要的项的常系数时，只剩下重要的项中的因子 $n$ ,得出运行时间为 $Θ(n)Θ\left(n\right)$

平均情况：
平均情况下，我们找到每一个元素的几率为 $1n\dfrac{1}{n}$ ，之所以加1，是因为存在没有找到的情况。我们将每个元素需要寻找的次数加在一起，也就是为 $∑j=1ntj\sum^{n}_{j=1}t_{j}$ ，然后除去 $n$ ，如下：

$T(n)=(n(n+1)2)/(n)=(n+1)2=12n+12T\left(n\right)=\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)/\left(n\right)=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{2}$

我们可以表示为： $a n + b$
忽略掉低阶项和最重要的项的常系数时，只剩下重要的项中的因子 $n$ ,得出运行时间为 $Θ(n)Θ\left(n\right)$

2-4
We can modify it to handle the best-case efficiently. For example, if we modify merge-sort to check if the array is sorted and just return it, the best-case running time will be Θ(n).
我们可以对其进行修改以有效地处理最佳情况。例如，如果我们修改合并排序以检查数组是否已排序并只返回它，则最佳情况下的运行时间为 $Θ(n)Θ\left(n\right)$ 。