蒜头君的购物袋2

1.题目

蒜头君去超市购物,他有一只容量为 VV 的购物袋,同时他想买 nn 件物品,已知每件物品的体积 v_ivi​ 和重要度 p_ipi​。蒜头君想知道,挑选哪些物品放入购物袋中,可以使得买到的物品重要度之和最大,且物品体积和不超过购物袋的容量。

输入格式
第一行输入两个整数 VV(1 \leq V \leq 10001≤V≤1000)和 nn(1 \leq n \leq 1001≤n≤100)。代表购物袋的总体积为 VV,蒜头君一共想买 nn 件物品。

接下来输入 nn 行,每行输入两个整数 v_ivi​ 和 p_ipi​(1 \leq v_i, p_i \leq 1001≤vi​,pi​≤100),分别表示每件物品的体积和重要度。

输出格式
输出一行,输出一个整数,表示蒜头君能买到物品的最大重要度之和。

2.分析

核心方程:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i])
其实理解了也比较简单,dp[N][V]表示前N个物品中(同一个物品不能重复拿),在不超过容量V的前提下,所取的最大重要度的值。

  • 当此时判断第i件物品:
  • 第i件物品拿不了(j<v[i]),dp[i][j]=dp[i-1][j]
  • 当i件物品可以拿(j>=v[i]),dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i])
    dp[i-1][j-v[i]]+p[i]的意思就是当你拿了第i件物品时,而此时的容量为j,减去第i件物品的体积v[i]所剩余的体积j-v[i],而i-1件物品时,体积限制为j-v[i]时的重要度值加上第i件物品的重要度p[i],即dp[i-1][j-v[i]]+p[i]

3.AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int dp[101][1001];//dp[N][V]表示在前N个物品中买东西,在总容量不超过V的前提下,所取的最大重要度的值
int v[101],p[101];

int main()
{
    int V,N;
    cin>>V>>N;
    memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化值
    for(int i=1;i<N;i++)
        cin>>v[i]>>p[i];
    for(int i=1;i<=N;i++){//控制物品的递增
        for(int j=0;j<=V;j++){//控制容量的递增
            if(j<v[i])
                dp[i][j]=dp[i-1][j];//该物品的体积超过容量
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i]);
            //容量够,选择(选第i个:第i-1件物品时,j-v[i]多出来的容量所装的重要度加上第i件物品的重要度)和
            //(不选第i个:直接第i-1件物品,j容量时的重要度值)中的最大值。
        }
    }
    cout<<dp[N][V]<<endl;
    return 0;//give me five
}
<think>好的,我需要回答用户关于“蒜头回家”问题的动态规划实现方法。首先,我得先理解这个问题。根据引用[1],题目是说蒜头在左下角(1,1),家在右上角(n,n),每走一个格子会消耗体力a_ij,只能向右或向上走,要求找到回家花费的最少体力。 用户提到动态规划,所以我要回忆动态规划的基本概念。引用[3]指出动态规划用于最优解问题,这题显然是最小体力路径,符合条件。动态规划通常需要定义状态和状态转移方程。 接下来,我需要确定状态。这里应该是到达每个点(i,j)所需的最小体力,用dp[i][j]表示。初始状态是起点(1,1),即dp[1][1]=a_11,因为站在起点就已经消耗这里的体力。 然后考虑状态转移。因为只能向右或向上走,所以到达(i,j)的前一步只能是左边(i-1,j)或下边(i,j-1)。因此,状态转移方程应该是dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a_ij。但要注意边界情况,比如第一行和第一列,只能从一个方向来。 比如,第一行的每个点只能从左边来,所以dp[1][j] = dp[1][j-1] + a_1j。同样,第一列的每个点只能从下面来,dp[i][1] = dp[i-1][1] + a_i1。 然后,遍历顺序应该从起点开始,按行或列逐步填充dp表,直到终点(n,n)。 不过,我需要检查是否正确。比如,假设有一个2x2的网格,初始体力a11=1,a12=2,a21=3,a22=1。那么路径有两种:右→上或上→右。第一种的体力是1+2+1=4,第二种是1+3+1=5,所以最优是4。用动态规划的话,dp[2][2] = min(dp[2][1], dp[1][2}) + a22 = min(4,3) +1=4。对,结果正确。 另外,需要注意数组的索引是否正确,题目中的坐标是否从1开始,代码实现时要对应好数组下标,可能需要处理边界条件。 可能还需要初始化dp数组,除了起点外,其他位置初始化为一个很大的值,或者逐步算。或者直接按顺序填充,因为每个点只依赖左边和上边的点,所以按行或列的顺序填充即可。 总结步骤: 1. 定义dp数组,大小为n x n。 2. 初始化dp[0][0] = a[0][0](如果编程语言数组从0开始的话)。 3. 填充第一行和第一列。 4. 按行或列填充其他位置,取左边和上边的最小值加上当前格子的体力。 5. 最终dp[n-1][n-1]即为答案。 然后根据引用[1]中的问题描述,确保实现时符合题目要求,比如坐标从(1,1)到(n,n),可能需要调整数组索引。例如,如果编程中使用0-based索引,则需要转换。 另外,要考虑空间优化,如果不需要保存整个dp表,可以用滚动数组,但可能对于初学者来说,先展示标准的二维DP更清晰。 最后,生成相关问题,可能需要结合动态规划和BFS方法的不同,或者优化技巧,比如空间优化或其他变种问题。</think>### 蒜头回家问题的动态规划实现方法 #### 问题分析 蒜头需要从网格左下角$(1,1)$移动到右上角$(n,n)$,每次只能向右或向上移动。每个格子$(i,j)$会消耗体力$a_{ij}$,目标是找到一条路径使得总体力消耗最小。 #### 动态规划 1. **状态定义** 定义$dp[i][j]$表示从起点$(1,1)$走到位置$(i,j)$所需的最小体力值。 2. **状态转移方程** - 对于第一行$(i=1)$:只能从左边移动而来,因此 $$dp[1][j] = dp[1][j-1] + a_{1j} \quad (j \geq 2)$$ - 对于第一列$(j=1)$:只能从下方移动而来,因此 $$dp[i][1] = dp[i-1][1] + a_{i1} \quad (i \geq 2)$$ - 其他位置$(i \geq 2, j \geq 2)$: $$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a_{ij}$$ 3. **初始化** - 起点:$dp[1][1] = a_{11}$(初始位置直接消耗体力)[^1] #### 代码实现(Python示例) ```python def min_energy_path(grid): n = len(grid) dp = [[0] * n for _ in range(n)] dp[0][0] = grid[0][0] # 起点初始化(假设输入是0-based索引) # 填充第一行和第一列 for i in range(1, n): dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0] for j in range(1, n): dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j] # 填充其他位置 for i in range(1, n): for j in range(1, n): dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] return dp[n-1][n-1] # 返回终点值 # 示例输入(假设grid是n×n的二维数组,0-based索引) grid = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ] print(min_energy_path(grid)) # 输出最小体力值 ``` #### 关键点说明 - **时间复杂度**:$O(n^2)$,需遍历所有网格点[^3]。 - **空间优化**:若允许覆盖原数组,可将空间复杂度从$O(n^2)$优化至$O(n)$。 - **边界处理**:若题目坐标从$(1,1)$开始(如引用[1]的描述),需将输入转换为0-based索引。
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