Python实战开发及案例分析（12）—— 模拟退火算法

        模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种概率搜索算法，源自于金属退火过程。在金属退火中，通过缓慢降低温度，金属内部的原子能够从高能态逐步达到较低能态。模拟退火算法利用类似的原理，通过随机搜索和概率接受策略来找到近似最优解。

模拟退火算法的原理

• 目标：寻找最小化或最大化目标函数的近似最优解。
• 温度：从高温逐渐降到低温。
• 状态变换：通过随机变换产生邻域解。
• 接受概率：以一定概率接受当前解，概率与温度和能量变化相关。

伪代码

1. 初始化当前解 s0，并设定初始温度 T0
2. while 当前温度 T > Tmin:
    3. 随机产生新的解 s'（当前解的邻域解）
    4. 计算能量差 ΔE = f(s') - f(s)
    5. if ΔE < 0:
        6. 接受新的解 s = s'
    7. else:
        8. 以概率 P(ΔE, T) = exp(-ΔE / T) 接受新的解 s = s'
    9. 降低温度 T = T * α
10. 返回最优解

Python 实现：模拟退火算法

示例问题：求解最小化 Rastrigin 函数

Rastrigin 函数是一个常见的多峰函数，用于测试优化算法的全局搜索能力。函数公式如下：

𝑓(𝑥,𝑦)=10×2+(𝑥2−10×cos⁡(2𝜋𝑥))+(𝑦2−10×cos⁡(2𝜋𝑦))

Python 实现：

import math
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Rastrigin 函数
def rastrigin(x):
    A = 10
    return A * len(x) + sum([(xi**2 - A * math.cos(2 * math.pi * xi)) for xi in x])

# 邻域解生成函数
def random_neighbor(x, bounds, step_size=0.5):
    return [min(max(xi + random.uniform(-step_size, step_size), bounds[i][0]), bounds[i][1]) for i, xi in enumerate(x)]

# 模拟退火算法
def simulated_annealing(objective, bounds, T0=1000, Tmin=1e-5, alpha=0.9, max_iter=1000):
    # 随机初始化起点
    x = [random.uniform(b[0], b[1]) for b in bounds]
    best_solution = x
    best_score = objective(x)
    current_solution = x
    current_score = best_score
    T = T0
    scores = []

    for _ in range(max_iter):
        if T < Tmin:
            break

        # 生成新邻域解
        neighbor = random_neighbor(current_solution, bounds)
        neighbor_score = objective(neighbor)

        # 接受概率计算
        if neighbor_score < current_score:
            current_solution = neighbor
            current_score = neighbor_score
        else:
            p = math.exp((current_score - neighbor_score) / T)
            if random.random() < p:
                current_solution = neighbor
                current_score = neighbor_score

        # 更新最优解
        if current_score < best_score:
            best_solution = current_solution
            best_score = current_score

        scores.append(best_score)

        # 降低温度
        T *= alpha

    return best_solution, best_score, scores

# 定义搜索空间（x 和 y 的范围）
bounds = [(-5.12, 5.12), (-5.