Poj 2778 [AC自动机，矩阵乘法]

题意
有m种DNA序列是有疾病的，问有多少种长度为n的DNA序列不包含任何一种有疾病的DNA序列。（仅含A,T,C,G四个字符）
•样例m=4,n=3,{“AA”,”AT”,”AC”,”AG”}
•答案为36，表示有36种长度为3的序列可以不包含疾病

首先申明，这道题我自己也没想出来，是看了这位朋友的博客才豁然开朗的。深感奇妙，自己记录下来以表敬意。
https://blog.youkuaiyun.com/morgan_xww/article/details/7834801
但是，这位大牛也有个地方没有解释。我在这篇博客里解释一下，等会下面会解释。

初步分析
这道题如果是用全排列去做的话复杂度至少是O(mn4^n)，这也太大了，那么应该怎么做呢？思路是用AC自动机去构造Tire图

那么什么是Tire图呢？
就是让Tire树中的每个结点p的ch[p][i]值都有所指，如果ch[p][i]==-1的话就让她指向ch[fail[p]][i]的值，同样是bfs建立。

然后定义一个dangerous数组，首先在插入的时候，如果cnt[p]>0的话，就把这个点设为危险结点，即将dangerous的值设为1，但是这样也没有完，在建立Tire图中若有一个结点的fail指向的结点是危险结点，那么这个结点也应该是危险结点。如ABC,B都是疾病序列的话，除了2，3是危险结点外，1号肯定也是的。
接下来用矩阵存图
我们已经建立了Tire图，若有tot+1个家电则定义一个a[tot+1][tot+1]的矩阵，a[i][j]表示点i到点j的路径数【每条路径就是唯一的序列】由于在离散数学中我们学到A^n中a[i][j]的值就是点i到点j长度为n路径数。但是这里我们应该让所有危险结点（dangerous[i]==1 || dangerous[j]==1）的a[i][j]值全部为0。为什么呢？
假如我们要求op长度为n的路径数
1：假如k1是dangerous点，那么m条路径都是疾病序列所以m=0 解释了 dangerous[j]==1
2若k1不是dangerous点，k2是的，如果我们不算dangerous[i]==1的情况，那么t2就不是0，那么从k1到p就包含了t1t2中路径，所以从o到p就包含了mt1*t2条路径，但这是不行的，包含了从o到k2的疾病序列,因此t2=0,这也解释了dangerous[i]==1的情况

通过这两点我们就能保证最后n次幂之后的 Σ(M[0,i]) mod 100000 就是答案。既不包括疾病序列，也不会少。

直接上代码

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

const int MAX_N=10000;
const int MAX_C=4;
const int mod=10000;
int x,n,length;
typedef struct matrix{
    long long a[100][100];
}Matrix;

Matrix matrix_mul(Matrix A,Matrix B,int mod ){
    Matrix C;

    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            int ans=0;
            for(int k=0;k<n;++k){
                ans+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%mod;
            }
            C.a[i][j]=ans%mod;
        }
    }

    return C;
}

Matrix matrix_pow(Matrix A,int length,int mod){
    if(length==1)
        return A;

    Matrix temp;
    temp=matrix_pow(A,length/2,mod);
    temp=matrix_mul(temp,temp,mod);
    if(length%2==1){
        temp=matrix_mul(temp,A,mod);
    }

    return temp;
}

struct Tire{
    int ch[MAX_N][MAX_C];
    int tot;
    int cnt[MAX_N];
    int fail[MAX_N];
    int dangerous[MAX_N];
    int id[250];

    void init() {

        id['A']=0;
        id['T']=1;
        id['C']=2;
        id['G']=3;

        for (int i = 0; i < MAX_N; ++i)
            for (int j = 0; j < MAX_C; ++j)
                ch[i][j] = -1;
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        memset(dangerous,0, sizeof(dangerous));
        tot = 0;
    }

    void insert(string str){
        int p=0;

        for(int i=0;str[i];++i){
            if(ch[p][id[str[i]]]==-1){
                ch[p][id[str[i]]]=++tot;
            }
            p=ch[p][id[str[i]]];
        }

        cnt[p]++;
        dangerous[p]=1;
    }

    //构造fail指针和trie图
    void construct(){
        int q[MAX_N];
        int l=0,r=0;
        int p=0;
        fail[0]=0;

        for(int i=0;i<MAX_C;++i){
            if(ch[p][i]!=-1){
                q[r++]=ch[p][i];
                fail[ch[p][i]]=0;
            }
            else{
                ch[p][i]=0;
            }
        }

        while(l<r){
            p=q[l++];

            for(int i=0;i<MAX_C;++i){
                if(ch[p][i]==-1){
                    ch[p][i]=ch[fail[p]][i];
                }
                else{
                    q[r++]=ch[p][i];

                    fail[ch[p][i]]=ch[fail[p]][i];

                    if(dangerous[ch[fail[p]][i]]==1){
                        dangerous[ch[p][i]]=1;
                    }

                }
            }
        }
    }
}AC;


int main() {

    cin>>x>>length;
    AC.init();

    for(int i=0;i<x;++i){
        string arr;
        cin>>arr;
        AC.insert(arr);
    }
    AC.construct();

    Matrix A;
    for(int i=0;i<=AC.tot;++i){
       for(int j=0;j<MAX_C;++j) {
           int v = AC.ch[i][j];
           if (AC.dangerous[i] == 1 || AC.dangerous[v] == 1) {
               A.a[i][v] = 0;
           } else
               A.a[i][v]++;
       }
    }

    n=AC.tot+1;
    A=matrix_pow(A,length,mod);

    for(int i=0;i<=AC.tot;++i){
        for(int j=0;j<=AC.tot;++j){
            cout<<A.a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    int answer=0;
    for (int i=0;i<=AC.tot;++i)
        answer+=A.a[0][i];
    cout<<answer;

    return 0;
}